Question

8．如图，△DBC内接于⊙O，DB=DC，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，DB交AC于E．
（1）求证：BC=EC；
（2）若BC=4，AC=6，求sin∠D的值．

Answer 1

分析 （1）先由DB=DC，根据等边对等角可得：∠B=∠BCD，然后由$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等可得∠D=∠ACB，然后根据三角形外角的性质可得：∠BEC=∠D+∠DCA，即∠BEC=∠ACB+∠DCA=∠BCD=∠B，然后根据等角对等边，即可得：BC=EC；
（2）连接AB，作BF⊥AC，垂足为F，由$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，根据等弧所对的弦相等，可得AB=BC=4，然后根据等腰三角形的三线合一可得：AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=3，然后由勾股定理可求：BF的值，然后由等弧所对的圆周角相等可得：∠D=∠ACB，进而可得sin∠D=sin∠ACB=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

解答 （1）证明：∵DB=DC，
∴∠B=∠BCD，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠D=∠ACB，
∵∠BEC=∠D+∠DCA，
即∠BEC=∠ACB+∠DCA=∠BCD=∠B，
∴BC=EC；
（2）解：连接AB，作BF⊥AC，垂足为F，

∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，BC=4，
∴AB=BC=4，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=3，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠D=∠ACB，
∴sin∠D=sin∠ACB=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 此题考查了圆周角定理，圆周角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质及锐角三角函数的定义，解（2）的关键是：添加适当的辅助线，体现转化的思想．