【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们称这个三角形是比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=1,BC=2,求AC的长.
(2)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC
①求证:△ABC是比例三角形
②若AB∥DC,如图2,求的值.
【答案】(1)AC=;(2)①详见解析;②.
【解析】
(1)根据比例三角形的定义,分AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC三种情况分别代入计算可得;
(2)①先证△ADC∽△CAB,得ADBC=AC2,再由∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠DBC,推出AB=AD即可得;②首先证明四边形ABCD是菱形,根据∠BAC=∠ADC可得△ABC是等边三角形,然后根据含30° 直角三角形的性质可得答案.
解:(1)设AC=m.
由题意m2=1×2或12=2m或22=m,
∴m=,m=(不符合三角形三边关系定理,舍去),m=4(不符合三角形三边关系定理,舍去),
故AC=;
(2)①∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ADB=∠DBC,
∴AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC,
∵∠BAC=∠ADC,
∴△ADC∽△CAB,
∴,
∴ADBC=AC2,
∵∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∴ABBC=AC2,
∴△ABC是比例三角形;
②由①知AD∥BC,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
∵∠BAC=∠ADC,且∠BAC=∠BCA,
∴∠ADC=∠BCA,
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC,
∴△ABC是等边三角形,
∴BO=AO,DO=OC,
∴BO+DO=(OA+OC),
∴BD=AC,
∴=.
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【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC边的中点.将△ABC绕点A顺时针旋转a角(0°<a<180°),得到△AB′C′(如图2),连接DB',EC'.
(1)探究DB'与EC'的数量关系,并结合图2给予证明;
(2)填空:
①当旋转角α的度数为_____时,则DB'∥AE;
②在旋转过程中,当点B',D,E在一条直线上,且AD=时,此时EC′的长为_____.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上的点,AC的垂直平分线交半圆于点D,交AC于点E,连接DA,DC.已知半圆O的半径为3,BC=2.
(1)求AD的长.
(2)点P是线段AC上一动点,连接DP,作∠DPF=∠DAC,PF交线段CD于点F.当△DPF为等腰三角形时,求AP的长.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F.过点E作EG∥BC,交AB于G,则图中相似三角形有( )
A. 7对 B. 6对 C. 5对 D. 4对
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【题目】在平面直角坐标系中,A,B,C三点分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直线AB上,若DA=1,CP⊥DP,垂足为P,则点P的坐标为_____.
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【题目】如图,△ABC在平面直角坐标系中,网格中每个小正方形的边长均为1,三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(4,0),C(4,6).
(1)画出△ABC向左平移2个单位长度得到的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;
(2)以点O为位似中心,在第三象限画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且相似比为1:2,直接写出点C2的坐标.
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【题目】在一个不透明的袋子里有1个红球,1个黄球和n个白球,它们除颜色外其余都相同.
(1)从这个袋子里摸出一个球,记录其颜色,然后放回,摇均匀后,重复该实验,经过大量实验后,发现摸到白球的频率稳定于0.5左右,求n的值;
(2)在(1)的条件下,先从这个袋中摸出一个球,记录其颜色,放回,摇均匀后,再从袋中摸出一个球,记录其颜色.请用画树状图或者列表的方法,求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率.
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【题目】如图一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 (x > 0)的图象交于A(2,–l),B(,n)两点,直线y=2与y轴交于点C.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求一次函数的解析式;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,能判别这个四边形是正方形的条件是( )
A.OA =OB =OC=OD,AC⊥BDB.AB∥CD,AC=BD
C.AD∥BC,∠A=∠CD.OA=OC,OB=OD,AB=AC
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