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【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们称这个三角形是比例三角形.

1)已知△ABC是比例三角形,AB1BC2,求AC的长.

2)如图1,在四边形ABCD中,ABAD,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC

求证:△ABC是比例三角形

ABDC,如图2,求的值.

【答案】1AC;(2详见解析;

【解析】

1)根据比例三角形的定义,分AB2BCACBC2ABACAC2ABBC三种情况分别代入计算可得;

2)①先证ADC∽△CAB,得ADBCAC2,再由∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠DBC,推出ABAD即可得;②首先证明四边形ABCD是菱形,根据∠BAC=∠ADC可得ABC是等边三角形,然后根据含30° 直角三角形的性质可得答案.

解:(1)设ACm

由题意m21×2122m22m

mm(不符合三角形三边关系定理,舍去),m4(不符合三角形三边关系定理,舍去),

AC

2)①∵ABAD

∴∠ABD=∠ADB

BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

∴∠ADB=∠DBC

ADBC

∴∠ACB=∠DAC

∵∠BAC=∠ADC

∴△ADC∽△CAB

ADBCAC2

∵∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠DBC

∴∠ABD=∠ADB

ABAD

ABBCAC2

∴△ABC是比例三角形;

②由①知ADBC

ABCD

∴四边形ABCD是平行四边形,

ABAD

∴四边形ABCD是菱形,

∵∠BAC=∠ADC,且∠BAC=∠BCA

∴∠ADC=∠BCA

∴∠ABC=∠BCA=∠BAC

∴△ABC是等边三角形,

BOAODOOC

BO+DOOA+OC),

BDAC

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