Question

4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）分别交x轴、y轴于A、B两点．以OD为一边在x轴上方作直角梯形ODEF，ED垂直于x轴，OD=8，ED=2，EF=4．设直角梯形ODEF与△ABO重叠部分的面积为S．
（1）写出直线OF对应的一次函数表达式，并求出直线AB与直线OF交点C的坐标；
（2）当b值由小到大变化时，求s用b表示的函数关系式；
（3）若在直线y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQD=90°，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据直角梯形，可得F点坐标，根据待定系数法，可得OF的解析式；根据解方程组，可得C点坐标；
（2）分类讨论：①当AB与OF有交点时，即0＜b≤4时，根据三角形的面积公式，可得函数解析式；②当AB与EF有交点时，即4＜b≤6，根据面积的和差，可得函数解析式；③当b＞6时，根据梯形面积公式，可得答案；
（3）根据以圆的直径为边的三角形是直角三角形，可得直线AB与⊙C相切，根据点到直线的距离等于半径，可得关于b的方程，根据解方程，可得b的值，根据b的值，可得b的取值范围．

解答 解：（1）由在x轴上方作直角梯形ODEF，ED垂直于x轴，OD=8，ED=2，EF=4，得
A（8，0），E（8，2），F（4，2）．
设OF的解析式为y=kx，将F点坐标代入，得
4k=2．解得k=$\frac{1}{2}$，
OF的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
联立OF与AB，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=b}\\{y=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$，
F点的坐标为（b，$\frac{b}{2}$）；
（2）①当AB与OF有交点时，即0＜b≤4时，如图1，
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+b=0，解得x=2b，即A（2b，0），
重叠的面积为S_△OAC=$\frac{1}{2}$OA•y_C=$\frac{1}{2}$×2b×$\frac{b}{2}$=$\frac{{b}^{2}}{2}$；
②当AB与EF有交点时，即4＜b≤6，如图2，
当y=2时，-$\frac{1}{2}$x+b=2，解得x=2b-4，即C（2b-4，2），
CE=8-（2b-4）=12-2b；
当x=8时，y=b-4，即G（8，b-4），
EG=2-（b-4）=6-b，
重叠部分的面积是S_{五边形ODGCF}=S_梯形ODEF-S_△ECG
=$\frac{1}{2}$（4+8）×2-$\frac{1}{2}$•CE•GE
=12-$\frac{1}{2}$（12-2b）（6-b）
=-b²+12b-24，
③当b＞6时，S_梯形ODEF=$\frac{1}{2}$×（4+8）×2=12；
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{2}（0＜b≤4）}\\{-{b}^{2}+12b-24（4＜b≤6）}\\{12（b＞6）}\end{array}\right.$；
（3）如图3，
圆心C（4，0），
AB与圆C相切时，C到直线AB的距离，得
$\frac{|4×\frac{1}{2}-b|}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}}$=4，
解得b=2-2$\sqrt{5}$（不符合题意，舍），b=2+2$\sqrt{5}$，
当0＜b≤2+2$\sqrt{5}$时，在直线y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQD=90°．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了直角梯形的性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用面积的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；（3）利用以圆的直径为边的三角形是直角三角形得出直线AB与⊙C相切是解题关键，又利用了点到直线的距离．