Question

7．如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的角平分线交于O点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F．
（1）求证：四边形CEOF为正方形；
（2）若OF=$\frac{3}{2}$，求AC+BC-AB的值．

Answer 1

分析 （1）过O作OG⊥AB于G，由角平分线的性质可求出OF=OE，由正方形的判定定理即可证明；
（2）先利用HL证明Rt△AOE≌Rt△AOG，得出AE=AG，同理BF=BG，那么AC+BC-AB=（AE+EC）+（BF+FC）-（AG+BG）=EC+FC，再由四边形CEOF为正方形，得到EC=FC=OF=$\frac{3}{2}$，于是AC+BC-AB=3．

解答 （1）证明：过O作OG⊥AB于G，
∵∠CAB、∠CBA的角平分线交于O点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∴OF=OG，OE=OG，
∴OF=OE，
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∴四边形CEOF为正方形；

（2）解：在Rt△AOE与Rt△AOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{OE=OG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOE≌Rt△AOG（HL），
∴AE=AG，
同理BF=BG，
∴AC+BC-AB=（AE+EC）+（BF+FC）-（AG+BG）=EC+FC，
∵四边形CEOF为正方形，
∴EC=FC=OF=$\frac{3}{2}$，
∴AC+BC-AB=3．

点评 本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．准确作出辅助线，得出OF=OE是解决第（1）问的关键；证明出AE=AG，BF=BG是解决第（2）问的关键．