Question

如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．
（1）填写下表：

层数	1	2	3	4	5	6
该层对应的点数
所有层的总点数

（2）写出第n层所对应的点数；
（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗；
（4）有没有一层，它的点数为100点；
（5）写出n层的六边形点阵的总点数．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）观察点阵可以写出答案；
（2）观察点阵可知：第二层每边有2个点，第三层每边有3个点，第四层每边有4个点，第五层每边有5个点，得出第n（n＞1）层每边对应的点数是n；
（3）根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6-6=6（个）点，第三层有3×6-6=12（个）点，进一步得出第n层有6（n-1）个点，代入96求得答案即可；
（4）将100代入建立方程求解即可判定；
（5）根据表格所得出的规律是从第二层，后面到几层就增加几个数6，由此即可求出答案．

解答：解：（1）如表：

层数	1	2	3	4	5	6
该层对应的点数	1	6	12	18	24	30
所有层的总点数	1	7	19	37	61	91

（2）第n层所对应的点数为n；
（3）第n层有（6n-6）个点，
则有6n-6=96，
解得n=17，
即在第17层；
（4）6n-6=100
解得n=

53

3

，不合题意，所以没有一层，它的点数为100点；
（5）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n层六边形点阵的总点数为，
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]
=1+6×

n(n-1)

2

=1+3n（n-1）．
第n层六边形的点阵的总点数为：1+3n（n-1）=3n²-3n+1．

点评：本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．