Question

12．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AC，∠DAE=∠BAC，AE=AD，联结DE、BE．
（1）求证：∠ABE=∠ABC；
（2）当BE∥AD时，求证：DE=AC．

Answer 1

分析 （1）由∠DAE=∠BAC可知∠BAE=∠CAD，运用SSS可证明△ABE≌△ACD，即可证明结论；
（2）由（1）可知BE=CD，由BE∥AD可知∠EBD=∠ADC，∠ABE=∠BAD，由（1）知∠ABE=∠ABC，于是∠ABC=∠BAD，即可证明△ADC≌△DBE，结论可证．

解答 证明：（1）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACD，
∴∠ABE=∠ABC．
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵BE∥AD，
∴∠EBD=∠ADC，∠ABE=∠BAD，
由（1）知∠ABE=∠ABC，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AD=DB，
在△DBE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DB}\\{∠EBD=∠ADC}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ACD（SAS），
∴DE=AC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质的综合运用，根据图形分析出要证的等角和等线段所在的三角形，探索两三角形全等的条件是解决问题的关键．