Question

18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE中正确的是①②④．

Answer 1

分析 由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得出对应边相等DE=DF，得出AD平分∠BAC，①②正确；由AD＞AE，得出③不正确，由全等三角形的对应边相等得出BE=CF，AE=AF，得出④正确，即可得出结果．

解答 解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，①正确，
∴AD平分∠BAC，②正确，
∵在Rt△ADE中，AD是斜边，
∴AD＞AE，③不正确，
∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，AE=AF，
∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确；
正确的是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键