Question

8．对于二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的顶点坐标为（1，-2）；
（2）请你直接判断点A是否在抛物线E上是；（填是或不是）
（3）n的值等于6．
【发现】
通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，你认为定点的坐标为（2，0）和（-1，6）．
【应用一】
二次函数y=-3x²+5x+2是二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，请说明理由；
【应用二】
若抛物线E与x轴的另一个交点为C，△ABC的面积等于6，求抛物线E的解析式．

Answer 1

分析 （1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【发现】
将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
【应用1】
将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x²+5x+2中进行验证即可
【应用2】设抛物线E截x轴的线段长为a，先利用三角形的面积求出a的长，再根据点A的坐标求出与x轴的另一交点的坐标，然后代入抛物线求解即可得到t的值，从而得解．

解答 解：【尝试】
（1）∵将t=2代入抛物线l中，得：y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x²-4x=2（x-1）²-2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2），
故答案为：（1，-2）；
（2）∵将x=2代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴点A（2，0）在抛物线l上，
故答案为：是；
（3）将x=-1代入抛物线l的解析式中，得：
n=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6，
故答案为：6；
【发现】
∵将抛物线E的解析式展开，得：
y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4，
∴抛物线l必过定点（2，0）、（-1，6），
故答案为：（2，0）、（-1，6）；
【应用一】
将x=2代入y=-3x²+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．
将x=-1代入y=-3x²+5x+2，计算得：y=-6≠6，
即可得抛物线y=-3x²+5x+2不经过点B，
二次函数y=-3x²+5x+2不是二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数；
【应用二】
由（1）得，抛物线E与x轴的一个交点为A（2，0），点B的坐标为（-1，6），
设抛物线E截x轴的线段长为a，则S=$\frac{1}{2}$a×6=6，
解得a=2，所以，与x轴的另一个交点为C（0，0）或（4，0），
当C点坐标为（0，0）时，y_E=2x²-4x；
当C点坐标为（4，0）时，y_E=x²-$\frac{12}{5}$x+$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了二次函数综合题型，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标，验证点是否在二次函数图象上，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息，理解“再生二次函数”的定义是解题的关键．