Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=1，△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A、点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（　　）

• A． 3
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×1=2，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′为等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴B′A=B′C=1，
∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．
故选：A．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．