Question

【题目】在Rt△ABC中，∠B=900，AC=100cm, ∠A=600,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF。

（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？若能，求相应的t值，若不能，请说明理由。

（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）能，10；（2） 或12,理由见解析.

【解析】

（1）首先根据题意计算AB的长，再证明四边形AEFD是平行四边形，要成菱形则AD=AE，因此可得t的值.

（2）要使△DEF为直角三角形，则有两种情况：①∠EDF=90°；②∠DEF=90°，分别计算即可.

解：（1）能，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

∴AB=AC=×60=30cm。

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t。∴DF=AE。

∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形。

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10。

∴当t=10时，AEFD是菱形。

（2）若△DEF为直角三角形，有两种情况：

①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t= 。

②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

则AE=2AD，即

2t =2×60-8t，解得：t=12。

综上所述，当t= 或12时，△DEF为直角三角形