【题目】如图,点D、E分别在△ABC的边AC和BC上,∠C=90°,DE∥AB,且3DE=2AB,AE=13,BD=9,那么AB的长为_____.
【答案】
【解析】分析:先设DE=2x,CD=2y,CE=2z,由于DE∥AB,3DE=2AB,根据平行线分线段成比例定理,可得AB=3x,AC=3y,BC=3z,而∠C=90°,利用勾股定理,可得y2+z2=x2①,(3y)2+(2z)2=132②,(2y)2+(3z)2=92③,解关于①②③的方程,可求x,从而可求AB.
详解:设DE=2x,CD=2y,CE=2z,
∵DE∥AB,3DE=2AB,
∴AB=3x,AC=3y,BC=3z,
又∵∠C=90°,
∴(2y)2+(2z)2=(2x)2,
即y2+z2=x2,①
同理(3y)2+(2z)2=132,②
(2y)2+(3z)2=92,③
②-①×4,得
5y2=169-4x2,④
①×9-③,得
5y2=9x2-81,⑤
⑤-④,得
x2=,
x=
∴AB=3x=.
故答案为:.
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【题目】数学课上,老师给出了如下问题:
(1)以下是小刚的解答过程,请你将解答过程补充完整:
解:如图2,因为,平分,
所以____________(角平分线的定义).
因为,
所以______.
(2)小戴说:“我觉得这道题有两种情况,小刚考虑的是在内部的情况,事实上,还可能在的内部”.根据小戴的想法,请你在图1中画出另一种情况对应的图形,并直接写出的度数:______.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,过点B作⊙O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.
(1)求证:△ACF∽△DAE;
(2)若S△AOC=,求DE的长;
(3)连接EF,求证:EF是⊙O的切线.
【答案】(1) 见解析; (2)3 ;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据圆周角定理得到∠BAC=90°,根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°,∠DBC=90°,于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论;
(2)根据S△AOC=,得到S△ACF=,通过△ACF∽△DAE,求得S△DAE=,过A作AH⊥DE于H,解直角三角形得到AH=DH=DE,由三角形的面积公式列方程即可得到结论;
(3)根据全等三角形的性质得到OE=OF,根据等腰三角形的性质得到∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,于是得到∠AFO=∠GFO,过O作OG⊥EF于G,根据全等三角形的性质得到OG=OA,即可得到结论.
试题解析:(1)证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∵∠ABC=30°,∴∠ACB=60°
∵OA=OC,∴∠AOC=60°,∵AF是⊙O的切线,∴∠OAF=90°,∴∠AFC=30°,∵DE是⊙O的切线,∴∠DBC=90°,∴∠D=∠AFC=30,∵∠DAE=ACF=120°,∴△ACF∽△DAE;
(2)∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°,∴∠CAF=30°,∴∠CAF=∠AFC,∴AC=CF,∴OC=CF,∵S△AOC=,∴S△ACF=,∵∠ABC=∠AFC=30°,∴AB=AF,∵AB=BD,∴AF=BD,∴∠BAE=∠BEA=30°,∴AB=BE=AF,∴,∵△ACF∽△DAE,∴=,∴S△DAE=,过A作AH⊥DE于H,∴AH=DH=DE,∴S△ADE=DEAH=×=,∴DE=;
(3)∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEB=∠AFO,在△AOF与△BOE中,∵∠OBE=∠OAF,∠OEB=∠AFO,OA=OB,∴△AOF≌△BEO,∴OE=OF,∴∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,∴∠AFO=∠GFO,过O作OG⊥EF于G,∴∠OAF=∠OGF=90°,在△AOF与△OGF中,∵∠OAF=∠OGF,∠AFO=∠GFO,OF=OF,∴△AOF≌△GOF,∴OG=OA,∴EF是⊙O的切线.
【题型】解答题
【结束】
25
【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.
(1)填空:点B的坐标为 ;
(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;
(3)①求证:;
②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值.
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【题目】阅读理解题
在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离公式为:d=,
例如,求点P(1,3)到直线4x+3y﹣3=0的距离.
解:由直线4x+3y﹣3=0知:A=4,B=3,C=﹣3
所以P(1,3)到直线4x+3y﹣3=0的距离为:d==2
根据以上材料,解决下列问题:
(1)求点P1(0,0)到直线3x﹣4y﹣5=0的距离.
(2)若点P2(1,0)到直线x+y+C=0的距离为,求实数C的值.
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【题目】如图1,四边形中,,,,,点从点出发,以每秒2个单位长度的速度向点运动,同时,点从点出发,以每秒1个单位长度的速度向点运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点作于点,连接交于点,连接,设运动时间为秒.
(1)连接、,当为何值时,四边形为平行四边形;
(2)求出点到的距离;
(3)如图2,将沿翻折,得,是否存在某时刻,使四边形为菱形,若存在,求的值;若不存在,请说明理由
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【题目】如图,四边形ABCD中AB∥CD,对角线AC,BD相交于O,点E,F分别为BD上两点,且BE=DF,∠AEF=∠CFB.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC=2OE,试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
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【题目】如图所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;
(2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?
②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形?
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【题目】如图,以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,连接BE、DF.
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1),则线段BE与DF的数量关系是 .
(2)当四边形ABCD为平行四边形时(如图2),问(1)中的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是_____.
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