Question

【题目】如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围____．

Answer 1

【答案】（1）；（2）＜AP＜或AP=5．

【解析】

（1）连接PF，则PF⊥CD，由AB⊥AC和四边形ABCD是平行四边形，得PF∥AC，可证明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的长；
（2）有两种情况：①与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点．

（1）如图2所示，连接PF，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，

设AP=x，则DP=10-x，PF=x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴

∴x= ；
（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，

SABCD= ×6×8×2=10PG，
PG=，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP=5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．
故答案为：＜AP＜或AP=5．