Question

【题目】已知，如图抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣4，0），B的坐标为（1，0），且OC＝4OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣4；（2）三角形ACD面积的最大值＝8；（3）存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．

【解析】

（1）根据点B的坐标为（1，0），OC＝4OB可得出C点坐标，再把A，B，C三点的坐标代入抛物线的解析式求出a，b，c的值即可；

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线AC的解析式，故可得出DM＝（x＋2）2＋4，即可得出结论；

（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，根据PC两点的纵坐标相等可得出P点坐标；②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，令P（x，4），由x2＋3x4＝4得出x的值即可得出P点坐标．

解：（1）∵OC＝4OB，B（1，0），

∴C（0，﹣4），

把点A，B，C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得

解得：，

∴抛物线线的解析式为：y＝x2+3x﹣4；

（2）如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．

∵A（﹣4，0），B的坐标为（1，0），

∴AB＝5，

∴S△ACD＝DM×（AN+ON）＝DMOA＝2DM，

设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），

∴，解得，

故直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣4．

令D（x，x2+3x﹣4），M（x，﹣x﹣4），则DM＝﹣x﹣4﹣（x2+3x﹣4）＝﹣（x+2）2+4，

当x＝﹣2时，DM有最大值4，

故三角形ACD面积的最大值＝×4×4＝8；

（3）①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．

∵C（0，﹣4），令x2+3x﹣4＝﹣4，

∴x＝0或x＝﹣3．

∴P1（﹣3，﹣4）．

②如图3，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，

∵C（0，﹣4），

∴可令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4，得x2+3x﹣8＝0．

解得x＝或x＝．

此时存在点P2（，4）和P3（，4）．

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．