Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于Q，∠BPQ的度数是_____；若PQ＝3，EP＝1，则DA的长是_____．

Answer 1

【答案】60°， 7．

【解析】

根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证出△AEB≌△CDA，利用全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ＝60°，然后可得∠PBQ＝30°，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ＝BP＝6，则易求BE＝BP＋PE＝7．

解：∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，

∴在△AEB与△CDA中，，

∴△AEB≌△CDA（SAS）；

∴∠ABE＝∠CAD，AD＝BE，

∴∠BAD+∠ABP＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，

∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABP＝60°，

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ＝30°，

∴PQ＝BP＝3，

∴BP＝6，

∵EP＝1，

∴BE＝BP+PE＝7，

∴DA＝BE＝7．

故答案为：60°，7．