Question

【阅读理解】如图a，在△ABC中，D是BC的中点．如果用S_△ABC表示△ABC的面积，则由等底等高的三角形的面积相等，可得S_△ABD=S_△ACD=

1

2

S_△ABC．同理，如图b，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，可得S_△ABD=S_△ADE=S_△AEC=

1

3

S_△ABC．
【结论应用】已知：△ABC的面积为42，请利用上面的结论解决下列问题：
（1）如图1，若D、E分别是AB、AC的中点，CD与BE交于点F，△DBF的面积为

 

；

【类比推广】
（2）如图2，若D、E是AB的三等分点，F、G是AC的三等分点，CD分别交BF、BG于M、N，CE分别交BF、BG于P、Q，求△BEP的面积；
（3）如图2，问题（2）中的条件不变，求四边形EPMD的面积．

Answer 1

考点：三角形的面积

专题：

分析：（1）根据中位线的性质得到△DOE∽△COB，再用相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，

DF

CF

=

DE

BC

=

1

2

，求得S_△BDF：S_△DBC=1：3，进而求得S_△BDF：=

1

6

S_△ABC，即可求得；

（2）连AP，AM，设S_△BPE=a，S_△AFP=b，根据S_△ABD=S_△ADE=S_△AEC=

1

3

S_△ABC．列出关于面积的方程组，解方程组即可求得；
（3）先根据S_△ABD=S_△ADE=S_△AEC=

1

3

S_△ABC．求得四边形ADMF的面积，利用S_{四边形EPMD}=S_△ABF-S_△BEF-S_{四边形ADMF}即可求得；

解答：解：（1）如图1，∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC．
∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，
∴

DF

CF

=

DE

BC

=

1

2

，
∴S_△BDF：S_△DBC=1：3，
∵S_△BDC=

1

2

S_△ABC，
∴S_△BDF：=

1

6

S_△ABC=

1

6

×42=7，

（2）如图2，连AP，AM，设S_△BPE=a，S_△AFP=b，
则S_△APE=2a，S_△PCF=2b，
则

3a+b= 1 3 S△ABS 2a+3b= 2 3 S△ABC

，
即

3a+b= 1 3 ×42 2a+3b= 2 3 ×42

，
解得

a=2 b=8

．
故△BEP的面积为2；

（3）设S_△AMD=x，S_△AMF=y．
则

x+3y= 1 3 S 3x+y= 1 3 S

，
即

x+3y=14 3x+y=14

两式联立可得：x+y=6，
即S_{四边形admf}=6；
故S_{四边形EPMD}=S_△ABF-S_△BEF-S_{四边形ADMF}=14-2-6=6；

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，得到相似三角形，并求出三角形的相似比，然后用相似三角形的性质进行计算求出三角形的面积，并结合二元一次方程组的应用，求一些关系复杂的图形面积，代数化是一个重要技巧，利用代数化，能清晰明朗地表示图形面积之间的关系，从而可以化解或降低问题的难度．