Question

如图所示，已知△ABC的三个外角都是120°，点D、E、F分别是CA、BC、AB延长线上的一点，且AD=AC，CE=CB，AB=BF，连接ED、EF、FD，
（1）试判断△DEF是什么三角形？
（2）若点O是△ABC三条中线的交点，以点O为旋转中心，则△DEF旋转多少度后能与原来的图形重合？

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：常规题型

分析：（1）由于△ABC的三个外角都是120°，则△ABC的三个内角都是60°，所以可判断△ABC为等边三角形，则AB=AC=BC，再利用AD=AC，CE=CB，AB=BF得到AF=BE=CD，AD=BF=CE，则根据“SAS”可证明△ADF≌△CDE，得到DF=DE，同理可得DF=FE，即DF=DE=FE，于是可判断△DEF为等边三角形；
（2）由于点O是等边△ABC三条中线的交点，根据等边三角形的性质得点O为△ABC的中心，加上△DEF为等边三角形，得到点O为△DEF的中心，然后根据等边三角形的中心角为120度得到以点O为旋转中心，△DEF旋转120度后能与原来的图形重合．

解答：解：（1）△DEF为等边三角形．理由如下：
∵△ABC的三个外角都是120°，
∴△ABC的三个内角都是60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵AD=AC，CE=CB，AB=BF，
∴AF=BE=CD，AD=BF=CE，
在△ADF和△CDE中，

AD=CF ∠DAF=∠ECD AF=CD

，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
同理可得△ADF≌△BFE，
∴DF=FE，
∴DF=DE=FE，
∴△DEF为等边三角形；
（2）∵点O是等边△ABC三条中线的交点，即点O为△ABC的中心，
而△DEF为等边三角形，
∴点O为△DEF的中心，
∴以点O为旋转中心，△DEF旋转120度后能与原来的图形重合．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．