Question

如图：△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交∠BAC的外角∠CAM于点D，求证：CE=ED；
（3）当△ABC再添加一个条件，可得AP∥BC，请写出这个条件（不必证明）．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：

分析：（1）过点P分别作PE⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于点E、F、G，根据角平分线的性质可知PE=PF，PF=PG，故可得出PE=PG，由此可得出结论；
（2）先根据ASA定理得出△ADE≌△ACE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（3）根据平行线的判定定理即可得出结论．

解答：（1）证明：过点P分别作PE⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于点E、F、G，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PE=PF，PF=PG，
∴PE=PG，
∴PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）证明：∵由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE．
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°．
在△ADE与△ACE中，
∵

∠DAE=∠CAE AE=AE ∠AED=∠AEC

，
∴△ADE≌△ACE，
∴CE=DE；

（3）当∠DAE=∠ABC时，AP∥BC．
故添加的条件可以为：∠DAE=∠ABC．

点评：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．