Question

设直线y=-x+b（b＞0）与开口向上的抛物线y=ax²相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与x轴相交于C（x₃，0），与y轴相交于点D．
（1）求证：

1

x1

+

1

x2

=

1

x3

，y₁y₂=b²；
（2）当B为DC的中点时，求ab的值；
（3）取a=1，当AD：DB=2：1时，求b的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由题意可知x₁，x₂是方程ax²+x-b=0的两根，再由根与系数的关系得：x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=-

b

a

，进而可证明

1

x1

+

1

x2

=

1

x3

，y₁y₂=b²；
（2）根据已知条件可求出B的坐标，再把B的坐标代入抛物线的解析式即可求出ab的值；
（3）过A点作AF⊥x轴于F，因为AD：BD=2：1，所以可求出OF：OE=2：1，即 x₁：x₂=-2：1，进而可求出b的值．

解答：（1）证明：∵a、b是直线y=-x+b与抛物线的交点，
∴（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组

y=-x+b y=ax2

的解，
∴x₁，x₂是方程ax²+x-b=0的两根，由根与系数的关系得：x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=-

b

a

，又∵直线y=-x+b与x轴交于点c（x₃，0），∴x₃=b，
∴

1

x1

+

1

x2

=

1

b

，
∵

1

x3

=

1

b

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

1

x3

，
∴y₁y₂=ax₁²•ax₂²=a²•（x₁•x₂）²=a²•（-

b

a

）²=b²；
（2）作BE⊥x轴于E，
∵BD=BC，
∴BE=

1

2

OD，OE=

1

2

OC，
∵D（0，b），C（b，0），
∴b（

1

2

b，

1

2

b）．
又∵点b在抛物线y=ax²上，
∴

1

2

b=a•（

1

2

b）²
∴ab=2．
（3）过A点作AF⊥x轴于F，
∵AD：BD=2：1，
∴OF：OE=2：1，
∴x₁：x₂=-2：1，
又∵x₁+x₂=-

1

a

=-1．
∴x₁=-2，x₂=1，
∴b=-x₁•x₂=2．

点评：本题考查了二次函数的综合题，此类问题常见的形式和解题方法是：①用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；②将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；③利用函数研究方程的根与系数之间的关系；④利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题．