Question

如图在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，CE平分∠BCD，AE=BE．求证：
（1）DE⊥EC；
（2）DE平分∠CDA；
（3）DC=AD+BC；
（4）S_梯形ABCD=DE•EC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）作EF⊥CD于F，由角平分线的性质就可以得出BE=EF，得出AE=EF，△CEB≌△CEF，得出∠CEB=∠CEF，进而得出△AED≌△FED，就可以得出∠AED=∠FED，由∠AED+∠DEF+∠CEF+∠CEB=180°，就可以求出∠DEC=90°，进而得出结论；
（2）由△AED≌△FED就可以得出∠ADE=∠ADF，就可以得出结论；
（3）由△CEB≌△CEF就可以得出BC=FC，由△AED≌△FED就可以得出AD=FD，进而就可以得出结论；
（4）根据全等可以得出梯形ABCD的面积=2S_△DEF+2S_△CEF=2（S_△DEF+S_△CEF）=2S_△DEC，由三角形的面积公式就可以得出结论．

解答：证明：（1）作EF⊥CD于F，
∴∠EFC=∠EFD=90°．
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE．
∵∠A=∠B=90°，
∴∠EFC=∠EFD=∠A=∠B=90°．
在△CEB和△CEF中，

∠B=∠EFC ∠BCE=∠FCE EC=EC

，
∴△CEB≌△CEF（AAS），
∴BE=FE，BC=FC．∠CEB=∠CEF．
∵AE=BE，
∴AE=FE．
在Rt△AED和Rt△FED中，

ED=ED AE=FE

，
∴Rt△AED≌Rt△FED（HL），
∴∠AED=∠FED，AD=FD．
∵∠CEB+∠CEF+∠AED+∠FED=180°，
∴2∠CEF+2∠DEF=180°，
∴∠CEF+∠DEF=90°，
即∠DEC=90°．
∴DE⊥CE；
（2）∵△AED≌△FED，
∴∠AED=∠FED，
∴DE平分∠CDA；
（3）∵BC=FC，AD=FD，
∴BC+AD=FC+FD，
∴DC=AD+BC
（4）∵△CEB≌△CEF，△AED≌△FED，
∴S_△CEB=S_△CEF，S_△AED=S_△FED．
∴S梯形ABCD=2S_△DEF+2S_△CEF=2（S_△DEF+S_△CEF）=2S_△DEC．
∵S_△DEC=

DE•CE

2

，
∴2S_△DEC=DE•CE，
∴S_梯形ABCD=DE•EC．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，平角的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．