Question

在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），B点的坐标是（-3，0），点P是线段AB上一动点（不与点A、B重合）．
（1）如图1，过点A、B分别作OP的垂线段，E、F分别为垂足，求证△AEO≌△OFB，并探究BF，AE，EF这三条线段之间的大小关系：
（2）如图2，直线BD∥y轴，过点P作OP的垂线交BD于C点，求证：OP=PC；
（3）当点P在线段上移动时，点C也随之在直线BD上移动，在（2）的情况下，当△PBC为等腰三角形时，请在备用图中画出示意图，并求此时点P的坐标．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰三角形的判定

专题：计算题

分析：（1）由A与B的坐标得到OA=OB=3，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到△AEO≌△OFB，利用全等三角形的对应边相等得到BF=OE，OF=AE，由OE=EF+OF，等量代换即可得证；
（2）过P作PM⊥BD，延长MP与y轴交于点N，可得PN⊥y轴，由题意得到三角形BPM为等腰直角三角形，即PM=BM，由BM=ON等量代换得到PM=ON，由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到△PCM≌△OPN，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）如图所示，过P作PQ垂直于y轴，由BP=BC，且三角形AOB为等腰直角三角形，得到∠BPC=22.5°，进而求出∠APO=∠AOP=67.5°，利用等角对等边得到AP=OA=3，在等腰直角三角形APQ中，由AP长求出PQ与AQ长，由OA-AQ求出OQ长，即可确定出P坐标．

解答：解：（1）∵A（0，3），B（-3，0），
∴OA=OB=3，
∵∠AOE+∠BOF=90°，∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△BOF中，

∠AEO=∠BFO=90° ∠AOE=∠OBF OA=OB

，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴BF=OE，OF=AE，
∴BF=OE=EF+OF=EF+AE；
（2）过P作PM⊥BD，延长MP与y轴交于点N，可得PN⊥y轴，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠MBP=∠MBO-∠ABO=45°，
∴△BPM为等腰直角是三角形，
∴MP=MB，
∵MB=ON，
∴MP=NO，
∵∠CPM+∠OPN=90°，∠CPM+∠PCM=90°，
∴∠OPN=∠PCM，
在△PCM和△OPN中，

∠PCM=∠OPN ∠PMC=∠ONP=90° PM=ON

，
∴△PCM≌△OPN（AAS），
∴OP=PC；
（3）如备用图所示，过P作PQ⊥y轴，
∵△BCP为等腰三角形，△AOB为等腰直角三角形，
∴BP=BC，∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠BCP=∠BPC=22.5°，
∴∠APO=67.5°，
∴∠AOP=67.5°，
∴AP=AO=3，
在等腰Rt△APQ中，PQ=AQ=

3 2

2

，
∴OQ=OA-AQ=3-

3 2

2

，
则P（-

3 2

2

，3-

3 2

2

）．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．