Question

如图，已知△ABC的面积是1，D、E、F和G、H、I分别是BC和AC边上的4等分点，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A、

  1

  10

• B、

  1

  12

• C、

  1

  8

• D、

  2

  25

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：计算题

分析：连结IF，如图，设S_△IFK的面积为S，由于

CI

CA

=

CF

CB

=

1

4

，而∠ICF=∠ACB，根据相似三角形的判定方法得到△CIF∽△CAB，根据相似的性质得S_△CIF=

1

16

，且∠CIF=∠CAB，

IF

AB

=

CI

CA

=

1

4

，可判断IF∥AB，又可得到△IFK∽△BKA，利用相似的性质得S_△ABK=16S；由于BF=3CF，根据三角形面积公式得到S_△IBF=3S_△ICF，则S_△KBF=

3

16

-S，所以S_△ABF=S_△ABK+S_△KBF=16S+

3

16

-S，而BF=

3

4

BC，所以S_△ABF=

3

4

，然后解方程16S+

3

16

-S=

3

4

，求出S，最后利用图中阴影部分的面积=S_△IFK+S_△CIF进行计算．

解答：解：连结IF，如图，设S_△IFK的面积为S，
∵D、E、F和G、H、I分别是BC和AC边上的4等分点，
∴

CI

CA

=

CF

CB

=

1

4

，
而∠ICF=∠ACB，
∴△CIF∽△CAB，
∴

S△CIF

S△ABC

=（

CI

CA

）²，
∴S_△CIF=

1

16

，
∵△CIF∽△CAB，
∴∠CIF=∠CAB，

IF

AB

=

CI

CA

=

1

4

，
∴IF∥AB，
∴△IFK∽△BKA，
∴

S△IFK

S△ABK

=

1

16

，
∴S_△ABK=16S，
∵BF=3CF，
∴S_△IBF=3S_△ICF，即S+S_△KBF=3×

1

16

，
∴S_△KBF=

3

16

-S，
∴S_△ABF=S_△ABK+S_△KBF=16S+

3

16

-S，
∵BF=

3

4

BC，
∴S_△ABF=

3

4

S_△ABC=

3

4

，
∴16S+

3

16

-S=

3

4

，
∴S=

3

80

，
∴图中阴影部分的面积=S_△IFK+S_△CIF=

3

80

+

1

16

=

1

10

．
故选A．

点评：本题考查了等积变换：相似三角形面积的比等于相似比的平方；同底等高的三角形的面积相等．