【题目】综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于两点(点在点的右侧),与轴交于点,连接.
(1)求点三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)点为抛物线对称轴上一点,连接,,若,求点的坐标;
(3)已知点,若是抛物线上一个动点(其中),连接,,,求面积的最大值及此时点的坐标.
【答案】(1),. .抛物线的对称轴为直线;(2);(3)当时,面积有最大值是. .
【解析】
(1)令y=0,解一元二次方程可得A、B的坐标,由x=0,可得点C的坐标.把抛物线解析式配方即可得到对称轴;
(2)设点D(1,m),由CD=BD,得到,根据两点间的距离公式列方程,解方程即可;
(3)过点P作PQ⊥y轴于点Q,过点E作直线ER⊥y轴于点R,过点P作PF⊥ER于点F,可得四边形QRFP是矩形.由,得到.把代入,配方即可得到结论.
(1)令,得:.
解方程,得:,.
∵点在点的右侧,
∴点的坐标为,点的坐标为.
由,得:,
∴点的坐标为.
∵.
∴抛物线的对称轴为直线.
(2)设点,
∵,∴,
∴
∴.
∴D(1,).
(3)如图,过点P作PQ⊥y轴于点Q,过点E作直线ER⊥y轴于点R,过点P作PF⊥ER于点F,
∴∠PQR=∠QRF=∠RFP=90°,
∴四边形QRFP是矩形.
∵,
∴
.
∵,
∴
∴当时,面积有最大值是.
当时,,
∴.
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【题目】如图,在ABCD中,CG⊥AB于点G,∠ABF=45°,F在CD上,BF交CG于点E,连接AE,且AE⊥AD.
(1)若BG=2,BC=,求EF的长度;
(2)求证:CE+BE=AB.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(1,m)都在直线y=﹣2x+b上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点B.
(1)直接写出m和k的值;
(2)如图2,将线段AB向右平移n个单位长度(n≥0),得到对应线段CD,连接AC,BD.
①在平移过程中,若反比例函数图象与线段AB有交点,求n的取值范围;
②在平移过程中,连接BC,若△BCD是直角三角形,请直接写出所有满足条件n的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣ax+b的图象与反比例函数的图象相交于点A(﹣4,﹣2),B(m,4),与y轴相交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求点C的坐标及△AOB的面积.
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【题目】阅读下面内容,并解答问题:
杨辉和他的一个数学问题
我国古代对代数的研究,特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.
杨辉,字谦光,钱塘(今浙江杭州)人,南宋杰出的数学家和数学教育家,杨辉一生留下了大量的著述,他著名的数学书共五种二十一卷,它们是:《详解九章算法》12卷(1261年),《日用算法》2卷(1262年),《乘除通变本末》3卷(1274年,第3卷与他人合编),《田(杨辉,南宋数学家)亩比类乘除捷法》2卷(1275年),《续古摘奇算法》2卷(1275年,与他人合编),其中后三种为杨辉后期所著,一般称之为《杨辉算法》.下面是杨辉在1275年提出的一个问题(选自杨辉所著《田亩比类乘除捷法》):
直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步.
请你用学过的知识解决这个问题.
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【题目】已知二次函数的顶点坐标为,.
(1)若该函数图象过点.
①求该函数解析式;
②,函数图象上点到x轴的距离最小值为1,则t的值为______;
(2)若点P在函数的图象上,且,求h的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标中,直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=,点C的坐标为(-18,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD,求直线DE的解析式.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,以D为圆心,D长为半径作作⊙D.
⑴求证:AC是⊙D的切线.
⑵设AC与⊙D切于点E,DB=1,连接DE,BF,EF.
①当∠BAD= 时,四边形BDEF为菱形;
②当AB= 时,△CDE为等腰三角形.
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