Question

【题目】如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD

（1）为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；

（2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若∠ACD＝45°，求△ACD的面积．

Answer 1

【答案】（1）AD＝2PD；（2）成立，理由见解析；（3）

【解析】

(1)利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．

(2)结论成立．如图1中，延长ED到F，使得DF=DE，连接BF，CF．利用三角形的中位线定理证明BF=2PD，再证明AD=BF即可解决问题．

(3)如图1中，延长BF交AD于G，由(2)得到∠FBC=∠DAC，首先证明∠ADP=60°，解直角三角形求出AD2即可解决问题．

(1)如图2中，

等边△ABC中，∠BAC=60°，

等腰三角形△EDC中，∠ADC=120°，

∴∠DAC=∠CAD=30°，

∴∠DAP=∠BAC -∠DAC=30°，

∠PDA=180 -∠ADC=60°，

∴∠APD=90°，

∴在Rt△APD中， AD=2PD；

(2)结论成立．

理由：如图1中，延长ED到F，使得DF=DE，连接BF，CF．

∵BP=EP，DE=DF，

∴BF=2PD，BF∥PD，

∵∠EDC=120°，

∴∠FDC=60°，

∵DF=DE=DC，

∴△DFC是等边三角形，

∵CB=CA，∠BCA=∠DCF=60°，

∴∠BCF+∠ACF =∠ACD+∠ACF=60°，

∴∠BCF=∠ACD，

∵CF=CD，

∴△BCF≌△ACD(SAS)，

∴BF=AD，

∴AD=2PD．

(3)如图3中，作DM⊥AC于M， DG⊥EC于G．

在等腰△CDE中，

∵CE=2，∠CDE=120°，CD=DE，

∴CG=GE=，∠DCE=30°，

∴CD=DE=2，

∵∠ACD=45°，

∴CM=DM=2，

S△CAD=．