Question

【题目】如图，扇形OMN的半径为1，圆心角为90°，点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．

（1）当点B移动到使AB：OA=：3时，求的长；

（2）当点B移动到使四边形EPGQ为矩形时，求AM的长．

（3）连接PQ，试说明3PQ2+OA2是定值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当AM的长为（1﹣）时，四边形EPGQ是矩形（3）定值

【解析】

（1）先利用三角函数求出∠AOB=30°，再用弧长公式即可得出结论；

（2）易得△AED∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得OA的长，即可得出结论；

（3）连接GE交PQ于O′，易得O′P=O′Q，O′G=O'E，然后过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′，由△PCF∽△PEG，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得3PQ2+OA2的值．

解：（1）证明：连接OB，如图①，

∵四边形OABC是矩形，

∴∠AOC=∠OAB=90°，

在Rt△AOB中，tan∠AOB==，

∴∠AOB=30°，

∴==；

（2）如图②，∵EPGQ是矩形．

∴∠CED=90°

∴∠AED+∠CEB=90°．

又∵∠DAE=∠EBC=90°，

∴∠AED=∠BCE．

∴△AED∽△BCE，

∴．

设OA=x，AB=y，则=，

得y2=2x2，

又 OA2+AB2=OB2，

即x2+y2=12．

∴x2+2x2=1，

解得：x=．

∴AM=OM﹣OA=1﹣

当AM的长为（1﹣）时，四边形EPGQ是矩形；

（3）如图③，连接GE交PQ于O′，

∵四边形EPGQ是平行四边形，

∴O′P=O′Q，O′G=O′E．

过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′．

由△PCF∽△PEG得， =2，

∴PA′=A′B′=AB，GA′=GE=OA，

∴A′O′=GE﹣GA′=OA．

在Rt△PA′O′中，PO′2=PA′2+A′O′2，

即=+，

又 AB2+OA2=1，

∴3PQ2=AB2+，

∴OA2+3PQ2=OA2+（AB2+）=是定值．