Question

7．已知A（a，0），B（0，b），a、b满足$\sqrt{a+2}$+b²-8b+16=0，将点A绕点B点逆时针旋转90°，恰好落在点C．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）坐标轴上是否存在点M，使得∠BMC=45°，并求出M点的坐标；
（3）延长BC交x于点E，P、Q分别为x、y轴上动点，求CQ²+BQ•OQ和CP²+OP•EP的值．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{a+2}$+b²-8b+16=0可知a=-2，b=4，即可得出A（-2，0），B（0，4），根据勾股定理求得AB=2$\sqrt{5}$，根据△AOB∽△BOE，对应边成比例得出OE=8，BE=4$\sqrt{5}$，证得C是BE的中点，从而得出C的坐标．
（2）由∠ABC=90°，AB=CB，得出∠BAC=45°，所以当M和A重合时，∠BMC=45°，此时M的坐标为（-2，0），作△ABC的外接圆，交x轴于M₁，交y轴于M₂，根据圆周角定理得出∠AM₁C=90°，然后根据C的坐标即可求得M₁的坐标，根据相交弦定理就可求得M₂的坐标；
（3）作CK⊥y轴，CJ⊥x轴，设BQ=x，则QK=2-x，OQ=4-x，根据勾股定理求得CQ²=CK²+QK²=4²+（2-x）²，则CQ²+BQ•OQ=4²+（2-x）²+x（4-x）=16+4=20；同理可证CP²+OP•EP=20．

解答 解：（1）由$\sqrt{a+2}$+b²-8b+16=0可知a=-2，b=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∵∠ABE=90°，
∴△AOB∽△BOE，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{BE}{AB}$=2，
∴OE=8，BE=4$\sqrt{5}$，
∵BC=AB=2$\sqrt{5}$，
∴C是BE的中点，
∴C（4，2）．
（2）∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BAC=45°，
当M和A重合时，∠BMC=45°，
此时M的坐标为（-2，0），
作△ABC的外接圆，交x轴于M₁，交y轴于M₂，则∠BM₁C=45°，∠BM₂C=45°，如图（2）
∵∠ABC=90°，
∴AC是直径，
∴∠AM₁C=90°，
∵C（4，2）．
∴M₁（4，0），
根据相交弦定理OA•OM₁=OB•OM₂，
∵OA=2，OB=4，OM₁=4，
∴OM₂=2，
∴M₂（0，-2）．
∴坐标轴上存在点M，使得∠BMC=45°，M点的坐标为（-2，0）或（0，-2）或（4，0）．
（3）如图（3），作CK⊥y轴，CJ⊥x轴，
∵B（0，4），C（4，2），
∴CK=4，OK=2，BK=2，
设BQ=x，则QK=2-x，OQ=4-x
在RT△CQK中，CQ²=CK²+QK²=4²+（2-x）²，
∴CQ²+BQ•OQ=4²+（2-x）²+x（4-x）=16+4=20；
同理：CP²+OP•EP=20．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了三角形相似的判定和性质，三角形的中位线定理，圆周角定理，勾股定理，相交弦定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．