Question

16．如图，抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$与直线$y=\frac{1}{2}x+1$交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标是2．点P在直线AB上方的抛物线上，过点P分别作PC∥y轴、PD∥x轴，与直线AB交于点C、D，以PC、PD为边作矩形PCQD，设点Q的坐标为（m，n）．
（1）点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（2，2）；
（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（3）求m与n之间的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（4）请直接写出矩形PCQD的周长最大时n的值．

Answer 1

分析 （1）令y=0求解得到点A的坐标，把点B的横坐标代入直线解析式求解即可得到点B的坐标；
（2）将点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c，即可得解；
（3）根据点Q的坐标表示出点C、P的坐标，然后将点P的坐标代入抛物线整理即可得解；
（4）表示出PC、CQ，然后表示出矩形PCQD的周长，再根据（3）把m消掉得到n的关系式，然后根据二次函数的最值问题解答．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{1}{2}$x+1=0，
解得x=-2，
所以，点A（-2，0），
∵点B的横坐标是2，
∴y=$\frac{1}{2}$×2+1=2，
∴B（2，2）；

（2）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×（-2）^{2}-2b+c=0}\\{-\frac{1}{2}×{2}^{2}+2b+c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=3}\end{array}\right.$
所以，这条抛物线所对应的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3；

（3）∵点Q的坐标为（m，n），
∴$\frac{1}{2}$x+1=n，
解得x=2n-2，
所以，点C的坐标为（2n-2，n），
点D的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+1），
∴点P的坐标为（2n-2，$\frac{1}{2}$m+1），
将（2n-2，$\frac{1}{2}$m+1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3，得-$\frac{1}{2}$×（2n-2）²+$\frac{1}{2}$×（2n-2）+3=$\frac{1}{2}$m+1，
整理得，m=-4n²+10n-2，
所以，m，n之间的函数关系式是m=-4n²+10n-2；

（4）∵C（2n-2，n），P（2n-2，$\frac{1}{2}$m+1），Q（m，n），
∴PC=$\frac{1}{2}$m+1-n，CQ=m-（2n-2）=m-2n+2，
∴矩形PCQD的周长=2（$\frac{1}{2}$m+1-n+m-2n+2），
=3m-6n+6，
=3（-4n²+10n-2）-6n+6，
=-12n²+24n，
=-12（n-1）²+12，
∴当n=1时，矩形PCQD的周长最大．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值问题，难点在于根据点Q的坐标表示出点P、C的坐标．