Question

1．我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站咋地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD=α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的高度AD为100cm．
（1）直接写出视角∠ABD（用含α的式子表示）的度数；
（2）当小然到墙壁PM的距离AB=250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离；
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的性质得出AB=BD，则∠ABE=∠DBE，进而得出答案；
（2）可根据sin∠CAD=$\frac{CD}{AD}$直接求出CD的值；利用△ACD∽△BEA，根据相似三角形的对应边成比例解答；
（3）利用（1）可知视角变小，则需要远离墙壁．进而得出答案．

解答 解：（1）连接BD，
∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABE=90°，
∴∠CAD=∠ABE，
∵AE=DE，BE⊥AD，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠ABD=2α；

（2）如图，过点D作DC⊥PM交PM于点C，
解法一：
在Rt△ACD中，
∵sin∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=sinα=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{50}{250}$=$\frac{1}{5}$，
∴CD=$\frac{1}{5}$AD=$\frac{1}{5}$×100=20（cm），

解法二：
∵∠CAD=∠ABE=α，
∠ACD=∠AEB=90°，
∴△ACD∽△BEA，
∴$\frac{CD}{AE}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{CD}{50}$=$\frac{100}{250}$，
∴CD=20（cm），
∴镜框顶部到墙壁的距离CD是20cm；

（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，
他应该远离墙壁PM．

点评 此题主要考查了相似三角形的应用以及视角问题，根据线段垂直平分线的性质得出AB=BD是解题关键．