Question

11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA₁A₂的直角边OA₁在y轴的正半轴上，且OA₁=A₁A₂=1，以OA₂为直角边作第二个等腰直角三角形OA₂A₃，以OA₃为直角边作第三个等腰直角三角形OA₃A₄，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA₂₀₁₇A₂₀₁₈，则点A₂₀₁₇的坐标为（0，（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶）或（0，2¹⁰⁰⁸）．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到OA₁=1，OA₂=$\sqrt{2}$，OA₃=（$\sqrt{2}$）²，…，OA₂₀₁₇=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶，再利用A₁、A₂、A₃、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴的特点可得到点A₂₀₁₇在y轴的正半轴上，即可确定点A₂₀₁₇的坐标．

解答 解：∵等腰直角三角形OA₁A₂的直角边OA₁在y轴的正半轴上，且OA₁=A₁A₂=1，以OA₂为直角边作第二个等腰直角三角形OA₂A₃，以OA₃为直角边作第三个等腰直角三角形OA₃A₄，…，
∴OA₁=1，OA₂=$\sqrt{2}$，OA₃=（$\sqrt{2}$）²，…，OA₂₀₁₇=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶，
∵A₁、A₂、A₃、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴，
2017÷8=252…1，
∴点A₂₀₁₇在第一象限，
∵OA₂₀₁₇=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶，
∴点A₂₀₁₇的坐标为（0，（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶）即（0，2¹⁰⁰⁸）．
故答案为（0，（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶）或（0，2¹⁰⁰⁸）．

点评 本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．