Question

【题目】在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．

（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；
（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，连结AE．

∵DE=DF，

∴∠DEF=∠DFE，

∵∠ADF+∠DEC=180°，

∴∠ADF=∠DEB．

∵∠AFE=∠BDE，

∴∠AFE+∠ADE=180°，

∴A、D、E、F四点共圆，

∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．

∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，

∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，

∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，

∴AB=BE.

（2）

解：如图2，连结AE．

∵∠AFE=∠BDE，

∴∠AFE+∠ADE=180°，

∴A、D、E、F四点共圆，

∴∠ADF=∠AEF，

∵∠DAF=90°，

∴∠DEF=90°，

∵∠ADF+∠DEC=180°，

∴∠ADF=∠DEB．

∵∠ADF=∠AEF，

∴∠DEB=∠AEF．

在△BDE与△AFE中，

，

∴△BDE∽△AFE，

∴．

在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，

∴EF==DF，

∴==，

∴BD=．

【解析】（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；
（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．