Question

20．已知2+$\frac{2}{3}$=2²×$\frac{2}{3}$，3+$\frac{3}{8}$=3²×$\frac{3}{8}$，4+$\frac{4}{15}$=4²×$\frac{4}{15}$，
…
若10+$\frac{a}{b}$=10²×$\frac{a}{b}$（a，b为正整数），求分式$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{a-b}$÷$\frac{a+b}{a-b}$•（b-9a）³的值．

Answer 1

分析 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，由题意找出规律求出a，b的值，代入代数式进行计算即可．

解答 解：原式=$\frac{（a+b）^{2}}{a-b}$•$\frac{a-b}{a+b}$•（b-9a）³
=（a+b）•（b-9a）³．
∵2+$\frac{2}{3}$=2²×$\frac{2}{3}$=2²×$\frac{2}{{2}^{2}-1}$，3+$\frac{3}{8}$=3²×$\frac{3}{8}$=3²×$\frac{3}{{3}^{2}-1}$，4+$\frac{4}{15}$=4²×$\frac{4}{15}$=4²×$\frac{4}{{4}^{2}-1}$，10+$\frac{a}{b}$=10²×$\frac{a}{b}$，
∴a=10，b=10²-1=99，
∴原式=（10+99）•（99-9×10）³=109×9³=79461．

点评 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．