Question

7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2，求出△ABC的面积；
（2）作EG∥BC交AB于G，证明△BGE≌△ECF，得到BE=EF；
（3）作EH∥BC交AB的延长线于H，证明△BHE≌△ECF，得到BE=EF．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，
∴BE⊥AC，AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴BE=$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BE=$\sqrt{3}$；
（2）如图2，作EG∥BC交AB于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGE是等边三角形，
∴BG=CE，
∵EG∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BGE=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ECF=120°，
∴∠BGE=∠ECF，
在△BGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GE=CF}\\{∠BGE=∠ECF}\\{BG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△ECF，
∴EB=EF；
（3）成立，
如图3，作EH∥BC交AB的延长线于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AHE是等边三角形，
∴BH=CE，
在△BHE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=CE}\\{∠BHE=∠ECF}\\{HE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△ECF，
∴EB=EF．

点评 本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．