Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)的顶点M(1，﹣4a)，且过点A(4，t)，与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，直线l经过点A，B，交y轴交于点D.

(1)若a＝﹣1，当2≤x＜4时，求y的范围；

(2)若△MBC是等腰直角三角形，求△ABM的面积；

(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，△BDE的面积的最大值为；设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、B、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ﹣5＜y≤3；(2)△ABM的面积＝4；(3)以点A、D、P、Q为顶点的平行四边形都不可能是矩形，理由见解析.

【解析】

(1)a＝﹣1时，y＝﹣(x﹣3)(x+1)，当x＝2时，y＝3，当x＝4时，y＝﹣5，即可求解；

(2)△MBC是等腰直角三角形，则yM＝BC＝2，△ABM的面积＝×CB×yM＝×4×2＝4；

(3)S△ACE＝S△AFE﹣S△CFE，解得a＝﹣1；分AD是平行四边形的一条边、AD是平行四边形的一条对角线，分别求解即可.

解：y＝a(x﹣1)2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，

令y＝0，则0＝ax2﹣2ax﹣3a，

解得x1＝﹣1，x2＝3

∵点A在点B的左侧，

∴A(﹣1，0)，

∵直线l经过点A，

∴0＝﹣k+b，b＝k，

∴y＝kx+k，

∵点D的横坐标为4，令ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，

∴a×42﹣2a×4﹣3a＝k×4+k，

∴k＝a，

∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；

(1)a＝﹣1时，y＝﹣(x﹣3)(x+1)，

当x＝2时，y＝3，当x＝4时，y＝﹣5，

故﹣5＜y≤3；

(2)△MBC是等腰直角三角形，则yM＝BC＝2，

△ABM的面积＝×CB×yM＝4×2＝4；

(3)如答图1，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，

设E(x，ax2﹣2ax﹣3a)，则F(x，ax+a)

EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣(ax+a)＝ax2﹣3ax﹣4a

S△ACE＝S△AFE﹣S△CFE

＝(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)﹣(ax2﹣3ax﹣4a)x

＝(ax2﹣3ax﹣4a)＝a(x﹣)2﹣a，

∴△ACE的面积的最大值为﹣a，

∵△ACE的面积的最大值为，

∴﹣a＝，

解得a＝﹣1；

抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，

∴A(﹣1，0)，D(4，﹣5)，

∴A、D点的横坐标相差5，

∴抛物线的对称轴为x＝1，

∴P点的横坐标是1，

①如答图2，若AD是平行四边形的一条边，AD∥QP，则点P与点Q的横坐标相差5，则Q点横坐标是﹣4，

∴Q(﹣4，﹣21)；

②如答图3，若AD是平行四边形的一条对角线，

则线段AD的中点的横坐标是，

∵P点的横坐标是1，

∴Q点横坐标是2，

∴Q(2，3)，

经验证以上两种以点A、D、P、Q为顶点的平行四边形都不可能是矩形.