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【题目】我们知道,任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解:n=p+q(p、q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p、q两数的乘积最大,我们就称p+q是n的最佳分解,并规定在最佳分解时:F(n)=pq.例如6可以分解成1+5,2+4,或3+3,因为1×5<2×4<3×3,所以3+3是6的最佳分解,所以F(6)=3×3=9.

(1)求F(11)的值;

(2)一个正整数,由N个数字组成,若从左向右它的第一位数能被1整除,它的前两位数被2除余1,前三位数被3除余2,前四位数被4除余3,…,一直到前N位数被N除余(N﹣1),我们称这样的数为“多余数”,如:236的第一位数2能被1整除,前两位数23被2除余1,236被3除余2,则236是一个“多余数”.若一个小于200的三位“多余数”记为t,它的各位数字之和再加上1为一个完全平方数,请求出所有“多余数”中F(t)的最大值.

【答案】(1)F(11)=5×6=30;(2)所有“多余数”中F(t)的最大值为7225.

【解析】试题分析:1)将11分解为1+102+93+84+75+6,根据1×10<2×9<3×8<4×7<5×6即可求出F11)的值;(2)找出小于200的三位多余数中的最大值,重复(1)的操作,即可找出所有多余数Ft)的最大值.

试题解析:(111可以分解成1+102+93+84+75+6

1×102×93×84×75×6

F11=5×6=30

2)小于200且各位数字之和再加上1为一个完全平方数的数有:195186177170168161159152143134125120116111107102

其中最大的多余数170

170可以分为1+1692+16884+8685+85

1×1692×16884×8685×85

F170=85×85=7225

∴所有多余数Ft)的最大值为7225

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