Question

【题目】如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；

（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；

（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：

①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；

②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）A（，﹣）；（3）①平行四边形，理由见解析；②A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．

【解析】

（1）由已知可得抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）、（4，0）、（0，0）代入y＝ax2+bx+c即可求表达式；

（2）由∠APO＝90°，可知AP⊥PO，所以m﹣2＝，即可求A（，﹣）；

（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），可得CD∥OB，CD＝CB，所以四边形OBCD是平行四边形；

②四边形由OBCD是平行四边形，，所以12＝4×（﹣n），即可求出A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．

解：（1）∵图象经过原点，

∴c＝0，

∵顶点为P（2，﹣4）

∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），

将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，

∴a＝1，b＝﹣4，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；

（2）∵∠APO＝90°，

∴AP⊥PO，

∵A（m，m2﹣4m），

∴m﹣2＝，

∴m＝，

∴A（，﹣）；

（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），

∴CD∥OB，

∵CD＝4，OB＝4，

∴四边形OBCD是平行四边形；

②∵四边形OBCD是平行四边形，，

∴12＝4×（﹣n），

∴n＝﹣3，

∴A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．