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【题目】如图1,已知抛物线的方程C1 (m0)x轴交于点BC,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;

(2)在(1)的条件下,求BCE的面积;

(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BHEH最小,求出点H的坐标;

(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点BCF为顶点的三角形与BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1;(26(3) (4)

【解析】试题分析:(1)把M2,2)代入函数解析式即可;(2)把代回函数解析式,求出点BCE的坐标即可;(3)连接CE交对称轴与点H,此时BH+EH的值最小;(4过点BEC的平行线交抛物线于F,过点FFF′⊥x轴于F′.由于∠BCE∠FBC△BCE∽△FBC∠CBF45°交抛物线于F,过点FFF′⊥x轴于F′,由于∠EBC∠CBF△BCE∽△BFC

试题解析:(1)将M(2, 2)代入,得.解得

2)当时, .所以C(4, 0)E(0, 2)B-2,0).

所以SBCE

3)如图2,抛物线的对称轴是直线x1,当H落在线段EC上时,BHEH最小.

设对称轴与x轴的交点为P,那么

因此.解得.所以点H的坐标为

4如图3,过点BEC的平行线交抛物线于F,过点FFF′⊥x轴于F′

由于BCEFBC,所以当,即时,BCE∽△FBC

设点F的坐标为,由,得

解得xm2.所以F′(m2, 0)

,得.所以

,得

整理,得016.此方程无解.

2 3 4

如图4,作∠CBF45°交抛物线于F,过点FFF′⊥x轴于F′

由于EBCCBF,所以,即时,BCE∽△BFC

RtBFF′中,由FF′BF′,得

解得x2m.所以F′.所以BF′2m2

,得.解得

综合,符合题意的m

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