【题目】如图1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)6;(3) ;(4) .
【解析】试题分析:(1)把M(2,2)代入函数解析式即可;(2)把代回函数解析式,求出点B、C、E的坐标即可;(3)连接CE交对称轴与点H,此时BH+EH的值最小;(4)①过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.由于∠BCE=∠FBC△BCE∽△FBC,②作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,由于∠EBC=∠CBF,△BCE∽△BFC
试题解析:(1)将M(2, 2)代入,得.解得.
(2)当时, .所以C(4, 0),E(0, 2),B(-2,0).
所以S△BCE=.
(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
设对称轴与x轴的交点为P,那么.
因此.解得.所以点H的坐标为.
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为,由,得.
解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).
由,得.所以.
由,得.
整理,得0=16.此方程无解.
图2 图3 图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.
解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2, .
由,得.解得.
综合①、②,符合题意的m为.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为( ).
A.22 B.24 C.10 D.12
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【题目】如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连结AG,DE⊥AG于点E,BF∥DE交AG于点F,探究线段DE,BF,EF三者之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】下列说法中:①角平分线上的点到角两边距离相等;②等腰三角形至少有1条对称轴,至多有3条对称轴;③等腰梯形对角线相等;④全等的两个图形一定成轴对称.其中正确有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,等边三角形△ABC的边长为4,过点C的直线⊥AC,且△ABC与△A′B′C关于直线对称,D为线段BC′上一动点,则AD+BD的最小值是______;
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【题目】在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,3),点B的坐标是,
(1)将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,点O,B对应点分别是E,F,请在图中画出△AEF;
(2)将线段AF绕点O旋转180°得到线段MN,点A、F对应点分别是M、N,请画出线段MN,并连结NF,直接写出线段NF的长
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