Question

7．阅读并解答下列问题：

问题一：如图1，在?ABCD中，AD=4，AB=6，∠A=60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP=3时，PB最小值为3$\sqrt{3}$．
问题二：如图2，四边形ABCD是边长为10的菱形，且∠DAB=60°，P是线段AC上的动点，E在AB上，且AE=$\frac{1}{2}$AB，连PE，PB，求PE+PB的最小值．
问题三：如图，菱形ABCD中，AB=10，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，求PK+QK的最小值．
问题四：如图3，正六边形ABCDEF中，AB=10，点P，Q，K分别为线段AF，DE，AD上任意的一点，则PK+QK的最小值为10$\sqrt{3}$．（写出答案即可）

Answer 1

分析 （1）如图1，过点B作BP⊥AD于P，根据直角三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；
（2）连接BD，DE交AC与P点，由于四边形ABCD是边长为10的菱形，且∠DAB=60°，得到AC垂直平分BD，AB=AD=BD，DE即为PE+PB的最小值，根据菱形的性质，等边三角形的性质，得到DE的值，即得到结果；
（3）如图3，作点P关于直线BD的对称点P′，在菱形ABCD中，∵BD平分∠ABC，得到点P′落在边AB上，过点P′作P′Q⊥CD于Q，则P′Q的长度就是PK+QK的最小值，过点A作AE⊥CD于E，则四边形P′QEA是矩形，得到AE=P′Q，由∠BAC=120°，得到∠ADC=60°，AE=ADsin60°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，从而得到结果；
（4）如图4，在六边形ABCDEF中，AB∥DE，作点P关于直线AD的对称点P′，过P′作P′Q⊥DE于Q，则P′Q的长度就是PK+QK的最小值，连接BD，则四边形BDQP′是矩形，得到P′Q=BD，由∠BAF=120°，得到∠BAD=60°，BD=ABtan60°=10$\sqrt{3}$，于是得到结果．

解答 解：：（1）如图1，过点B作BP⊥AD于P，
∴∠APB=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ABP=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=6，
∴AP=3．
在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP=$\sqrt{{（AB）}^{2}{-（AP）}^{2}}$=3$\sqrt{3}$
故答案：3，3$\sqrt{3}$；

（2）如图2，连接BD，DE交AC与P点，
∵四边形ABCD是边长为10的菱形，且∠DAB=60°，
∴AC垂直平分BD，AB=AD=BD，
∴DE即为PE+PB的最小值，
∵AE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴DE=$\sqrt{{AD}^{2}{-AE}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
即为PE+PB的最小值为：5$\sqrt{3}$；

（3）如图3，作点P关于直线BD的对称点P′，
在菱形ABCD中，∵BD平分∠ABC，
∴点P′落在边AB上，过点P′作P′Q⊥CD于Q，
则P′Q的长度就是PK+QK的最小值，
过点A作AE⊥CD于E，
则四边形P′QEA是矩形，
∴AE=P′Q，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∵AD=10，
∴AE=ADsin60°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，
∴PK+QK=5$\sqrt{3}$；

（4）如图4在六边形ABCDEF中，AB∥DE，
作点P关于直线AD的对称点P′，过P′作P′Q⊥DE于Q，
则P′Q的长度就是PK+QK的最小值，
连接BD，
则四边形BDQP′是矩形，
∴P′Q=BD，
∵∠BAF=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=10，
∴BD=ABtan60°=10$\sqrt{3}$，
∴PK+QK=10$\sqrt{3}$．
故答案：10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是最短路线问题，考查轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答（3）、（4）时作出P点关于直线对称的点P′是解答此题的关键．