Question

18．若实数a、b分别满足a²+8a+8=0，b²+8b+8=0，且a≠b，求a$\sqrt{\frac{a}{b}}$+b$\sqrt{\frac{b}{a}}$的值．

Answer 1

分析 根据已知得出a、b是方程x²+8x+8=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=-8，ab=8，求出a、b同号，且都为负数，根据二次根式的性质把a$\sqrt{\frac{a}{b}}$+b$\sqrt{\frac{b}{a}}$变成a•$\frac{\sqrt{ab}}{-b}$+b$•\frac{\sqrt{ab}}{-a}$，变形后代入求出即可．

解答 解：∵实数a、b分别满足a²+8a+8=0，b²+8b+8=0，且a≠b，
∴a、b是方程x²+8x+8=0的两个根，
∴a+b=-8，ab=8，
∴a、b同号，且都为负数，
∴a$\sqrt{\frac{a}{b}}$+b$\sqrt{\frac{b}{a}}$
=a$\sqrt{\frac{qb}{{b}^{2}}}$+b$\sqrt{\frac{ab}{{a}^{2}}}$
=a•$\frac{\sqrt{ab}}{-b}$+b$•\frac{\sqrt{ab}}{-a}$
=-$\frac{（{a}^{2}+{b}^{2}）\sqrt{ab}}{ab}$
=-$\frac{[（a+b）^{2}-2ab]\sqrt{ab}}{ab}$
=-$\frac{[（-8）^{2}-2×8]×\sqrt{8}}{8}$
=-12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次根式的性质，根与系数的关系的应用，解此题的关键是求出a、b都为负数和把a$\sqrt{\frac{a}{b}}$+b$\sqrt{\frac{b}{a}}$变成a•$\frac{\sqrt{ab}}{-b}$+b$•\frac{\sqrt{ab}}{-a}$，题目比较好，有一定的难度．