Question

6．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△BCD与△AOC的关系，并说明理由；
（3）在抛物线y=ax²+bx+c上有一点G，使得∠GAB=∠BCD，直接写出符合条件的点G的坐标；
（※不计总分）设△ABD的外接圆为⊙E，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是⊙E上异于A、B的任意一点，直线AP交l于点M，连接EM、PB．那么tan∠MEB•tan∠PBA的值为2．

Answer 1

分析 （1）直接将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c建立方程组，求出a、b、c的值就可以求出结论；
（2）如图1，过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m²-4m+3），由抛物线的解析式就可以求出D的坐标，由勾股定理的逆定理就可以求出△BDC是直角三角形，再求出三角形各边长，计算出相似比就可以求出结论；
（3）如图2，①过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m²-4m+3），利用tan∠GAF=tan∠BCD=$\frac{1}{3}$，得到-3（m²-4m+3）=m-1，求出m的值，进而求出G的坐标；②过点G₁作G₁F⊥x轴，垂足为F．设点G₁坐标为（m，m²-4m+3），同①，求出G₁坐标．
如图3，由条件可以求得△ADB为等腰直角三角形，就可以求出E的坐标．设P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x轴，F为垂足．就可以得出△AFP∽△ABM，就可以表示出y₀的值，由直角三角形的性质就可以表示出tan∠MEB和tan∠PBA的值，从而得出结论．

解答 解：（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C，
则$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\\ c=3\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=x²-4x+3． 
（2）如图1，连接BD．
∵y=x²-4x+4-1=（x-2）²-1．
∴D点坐标为（2，-1），
又∵B（3，0），C（0，3），
∴由勾股定理得：CD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
在△BCD与△AOC中，$\frac{OA}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{OC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可知，$\frac{OA}{BD}$=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{AC}{CD}$，
∴△BCD∽△AOC．
（3）如图2，①过点G作GF⊥x轴，垂足为F．
设点G坐标为（m，m²-4m+3），
∵CD²=BC²+BD²，
∴△CBD是直角三角形，
∴tan∠GAF=tan∠BCD=$\frac{1}{3}$．
∵tan∠GAF=$\frac{GF}{AF}$=$\frac{1}{3}$，
∴AF=3GF，
即-3（m²-4m+3）=m-1，
解得：m₁=1（舍去），m₂=$\frac{8}{3}$．
∴点G的坐标为（$\frac{8}{3}$，-$\frac{9}{5}$）．
②过点G₁作G₁F⊥x轴，垂足为F．
设点G₁坐标为（m，m²-4m+3）
∵CD²=BC²+BD²，
∴△CBD是直角三角形，
∴tan∠G₁AF=tan∠BCD=$\frac{1}{3}$．
∵tan∠G₁AF=$\frac{GF}{AF}$=$\frac{1}{3}$，
∴AF=3G₁F，
即3（m²-4m+3）=m-1，
解得：m₁=1（舍去），m₂=$\frac{10}{3}$．
∴点G₁的坐标为（$\frac{10}{3}$，$\frac{7}{9}$）．
∵点D的坐标为（2，-1），
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴圆心E是线段AB的中点，即E（2，0），半径为1，
设P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x轴，F为垂足．
∵点A、P、M三点在一条直线上，
∴$\frac{\left|{y}_{0}\right|}{\left|{y}_{1}\right|}$=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$，即|y₀|=$\frac{2\left|{y}_{1}\right|}{{x}_{1}-1}$．
∴tan∠MEB=$\frac{\left|{y}_{0}\right|}{EB}$=$\frac{2\left|{y}_{1}\right|}{{x}_{1}-1}$，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PBA=∠APF，
∴tan∠PBA=tan∠APF=$\frac{{x}_{1}-1}{\left|{y}_{1}\right|}$，
∴tan∠MEB•tan∠PBA=$\frac{2\left|{y}_{1}\right|}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{x}_{1}-1}{\left|{y}_{1}\right|}$=2．
另同上，连接PE，
∵PE=1，PF=|y₁|，EF=|x₁-2|，
在Rt△PEF中，根据勾股定理得：（x₁-2）²+y12=1，即1-（x₁-2）²=y₁2，
∵tan∠PBA=$\frac{\left|{y}_{1}\right|}{3-{x}_{1}}$，
∴tan∠MEB•tan∠PBA=$\frac{{2y}_{1}^{2}}{-{x}_{1}^{2}-4{x}_{1}+3}$=$\frac{2{y}_{1}^{2}}{1-（{x}_{1}-2）^{2}}$=2．
故答案为2．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、相似三角形的性质、三角形的外接圆、三角函数等知识，综合性强，要求学生有扎实的基本功和探究意识．