Question

19．已知a是自然数，抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，4），B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，求a_min+（b+c）_max的值．（其中x_min与x_max分别表示x的最小值和最大值）

Answer 1

分析 把A与B的坐标代入抛物线解析式得到方程组，将a看做已知数表示出b与c，根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得到根的判别式大于0，求出a的范围，确定出a的最小值，进而求出b与c的最大值，进而求出b+c的最大值，即可求出原式的值．

解答 解：把A（-1，4），B（2，1）代入抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{4a+2b+c=1}\end{array}\right.$，
解得：b=-a-1，c=3-2a，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b²-4ac=（a+1）²-4a（3-2a）=a²+2a+1-12a+8a²=9a²-10a+1=（9a-1）（a-1）＞0，
解得：a＜$\frac{1}{9}$（a是自然数，舍去）或a＞1，
∴a_min=2，
∴b_max=-3，c_max=-1，即（b+c）_max=-4，
则a_min+（b+c）_max=2-4=-2．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，根据题意求出a的最小值及（b+c）的最大值是解本题的关键．