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【题目】如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点DDFAC于点F.

(1)若⊙O的半径为3,CDF=15°,求阴影部分的面积;

(2)求证:DF是⊙O的切线;

(3)求证:∠EDF=DAC.

【答案】(1)阴影部分的面积为3π﹣;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】(1)连接OE,过OOMACM,求出AE、OM的长和∠AOE的度数,分别求出AOE和扇形AOE的面积,即可求出答案;

(2)连接OD,求出ODDF,根据切线的判定求出即可;

(3)连接BE,求出∠FDC=EBC,FDC=EDF,即可求出答案.

(1)解: 连接OE,过OOMACM,则∠AMO=90°,

DFAC,

∴∠DFC=90°,

∵∠FDC=15°,

∴∠C=180°-90°-15°=75°,

AB=AC,

∴∠ABC=C=75°,

∴∠BAC=180°-ABCC=30°,

OM=OA=×3=,AM=OM=

OA=OE,OMAC,

AE=2AM=3

∴∠BAC=AEO=30°,

∴∠AOE=180°-30°-30°=120°,

∴阴影部分的面积S=S扇形AOE-SAOE=

(2)证明:连接OD,

AB=AC,OB=OD,

∴∠ABC=C,ABC=ODB,

∴∠ODB=C,

ACOD,

DFAC,

DFOD,

ODO,

DF是⊙O的切线;

(3)证明:连接BE,

AB为⊙O的直径,

∴∠AEB=90°,

BEAC,

DFAC,

BEDF,

∴∠FDC=EBC,

∵∠EBC=DAC,

∴∠FDC=DAC,

A、B、D、E四点共圆,

∴∠DEF=ABC,

∵∠ABC=C,

∴∠DEC=C,

DFAC,

∴∠EDF=FDC,

∴∠EDF=DAC.

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