Question

13．已知AB为⊙0的直径，DE为⊙0的弦，连DA，EB．
（1）如图1，若∠A=∠B=60°，求证：AD=DE=BE．
（2）如图2．若∠A+∠B=120°，试探究DE与AB的数量关系．

Answer 1

分析 （1）连接OD，OE，则OA=OD=OE=OB，得出△AOD，△DOE，△BOE都是全等的正三角形，从而证得结论；
（2）连接OD，OE，设∠A=x，则∠B=120°-x，∠E=180°-x，根据等腰三角形的性质得出∠OEB=∠OBE=120°-x，根据圆内接四边形的性质求得∠OED=180°-x-（120°-x）=60°，从而求得△ODE是等边三角形，即可得出DE=$\frac{1}{2}$AB．

解答 解：（1）如图1，连接OD，OE，则OA=OD=OE=OB，
∵∠A=∠B=60°，
∴△AOD，△DOE，△BOE都是全等的正三角形，
∴AD=DE=BE；
（2）连接OD，OE，
设∠A=x，则∠B=120°-x，∠E=180°-x，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE=120°-x，
∴∠OED=180°-x-（120°-x）=60°，
又∵OE=OD，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OD=OE，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，作出辅助线，证得等边三角形是解题的关键．