Question

【题目】如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．

（1）求证：BD＝BE；

（2）若DE＝2，BD＝2，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝18．

【解析】

（1）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据切线的性质得∠ABD=90°，则∠BAD+∠D=90°，然后利用等量代换证明∠BED=∠D，从而判断BD=BE；

（2）利用圆周角定理得到∠AFB=90°，则根据等腰三角形的性质DF=EF=DE=1，再证明△DFB∽△DBA，利用相似比求出AD的长，然后计算AD-DE即可．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAE+∠CEA＝90°，

而∠BED＝∠CEA，

∴∠CAE+∠BED＝90°，

∵BD是⊙O的切线，

∴BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∴∠BAD+∠D＝90°，

又∵AF平分∠CAB，

∴∠CAE＝∠BAD，

∴∠BED＝∠D，

∴BD＝BE；

（2）解：∵AB为直径，

∴∠AFB＝90°，且BE＝BD，

∴DF＝EF＝DE＝1，

∵∠FDB＝∠BDA，

∴△DFB∽△DBA，

∴=，

∴DA＝2×2＝20，

∴AE＝AD﹣DE＝20﹣2＝18．