Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB边上一点，F是BC延长线上一点，将△BEF沿EF翻折，使点B恰好落在AD边上的点G处，FG与CD交于点H，连接BH，与EF交于点M，若BH平分∠CHG，AG＝4，则EM＝_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

由正方形的性质得出AB=BC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，过点B作BP⊥FG于P，连接BG，交EF于N，由翻折的性质得BE=GE，设AE=x，则BE=GE=6-x，在Rt△AEG中，AE2+AG2=GE2，即x2+42=（6-x）2，求出x=，则BE=GE=，，由AAS证得△BCH≌△BPH得出∠CBH=∠PBH，BC=BP，推出AB=BP，由HL证得Rt△ABG≌Rt△PBG得出∠ABG=∠PBG，推出∠NBM=∠PBG+∠PBH=（∠ABP+∠CBP）=45°，由翻折的性质得出EF垂直平分BG，则BN=NG=BG=，△BNM是等腰直角三角形，推出MN=BN=，，即可得出结果．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，

过点B作BP⊥FG于P，连接BG，交EF于N，如图所示：

由翻折的性质得：BE=GE，

设AE=x，则BE=GE=6-x，

在Rt△AEG中，AE2+AG2=GE2，

即：x2+42=（6-x）2，

解得：x=，

∴BE=GE=，

，

∵BH平分∠CHG，

∴∠CHB=∠PHB，

在△BCH和△BPH中，

，

∴△BCH≌△BPH（AAS），

∴∠CBH=∠PBH，BC=BP，

∴AB=BP，

在Rt△ABG和Rt△PBG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△PBG（HL），

∴∠ABG=∠PBG，

∴∠NBM=∠PBG+∠PBH=（∠ABP+∠CBP）=×90°=45°，

由翻折的性质得：EF垂直平分BG，

∴BN=NG=BG=，△BNM是等腰直角三角形，

∴MN=BN=，

，

，

故答案为：．