Question

【题目】（1）问题发现：如图（1）．在和中，绕点逆时针旋转．为边的中点，当点与点重合时．与的位置关系为 ，与的数量关系为 ．

（2）问题证明：在绕点逆时针旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2的情形给出证明，若不成立，请说明理山，

（3）拓展应用：在绕点逆时针旋转旋转的过程中，当时，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或

【解析】

（1）如图1，延长BH交AC于点G，根据直角三角形斜边上的中线的性质及已知条件可得∠BDC=∠ABG=60°，进而得到∠A+∠ABG=90°，即可得到BH⊥AE，根据锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质即可得到；

（2）延长至点，使，根据“SAS”证明△DBE≌△PBE，得到，进而证明，根据30°直角三角形的性质，从而得到，再证明，得到，根据中位线定理得到，即可得到，；

（3）分两种情况讨论，①①如图3-1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于点F，根据边角关系以及勾股定理求出AE2，再根据，即可解答；②如图3-2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF，EF的长度，求出求出AE2，再根据，即可解答．

解：（1）如图1，延长BH交AC于点G，

∵点H是Rt△BDC中CD的中点，

∴BH=DH，

∵，

∴∠BDC=∠ABG=60°，

∴∠A+∠ABG=90°，

∴∠AGB=90°，即BH⊥AE，

∵在Rt△ABC中，BC=3，∠A=30°，

∴AE=2BC=6，

在Rt△BDE中，∠DEB=30°，

∴CD=，

∵点H为CD的中点，

∴BH=，

∴，

∴

故答案为：

（2）成立

证明如下：延长至点，使，

连接分别交于点，如图2所示.

在△DBE与△PBE中，

,

又，

在中，，

,

,

,

为的中点，

为中点，

,

,

，

.

又,

.

∴（1）中的结论仍然成立，

（3）①如图3-1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于点F，

∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠BFD=90°，

由题意可知，BC=BE=3，AB=3，BD=，DE=2，

∴BF=，

EF=，

∴AF=3+，

∴AE2=，

∵，

∴，

∴，

②如图3-2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF=，EF= ，

∴AE2=，

∴

综上所述，BH2为或．