Question

【题目】已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象（记为抛物线C1）顶点为M，直线l：y＝2x﹣a与x轴，y轴分别交于A，B．

（1）对于抛物线C1，以下结论正确的是　 　；

①对称轴是：直线x＝1；②顶点坐标（1，﹣a﹣2）；③抛物线一定经过两个定点．

（2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系；

（3）将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象C1绕点P（t，﹣2）旋转180°得到二次函数的图象（记为抛物线C2），顶点为N．

①当﹣2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t的取值范围；

②当a＝1时，点Q是抛物线C1上的一点，点Q在抛物线C2上的对应点为Q'，试探究四边形QMQ'N能否为正方形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①②③；（2）S＝a（a＞0）；（3）①；②t＝﹣2或1或4．

【解析】

（1）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的对称轴为x＝＝1，y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x2﹣2x）﹣2，即可求解；

（2）由S＝S△BMD﹣S△AMD＝MD（OC﹣AC），即可求解；

（3）①而x＝1和x＝m关于P（t，﹣2）中心对称，所以P到这两条对称轴的距离相等，则1﹣t＝t﹣m，m＝2t﹣1，且：2t﹣1≤﹣2，即可求解；②分t≤1、t＞1两种情况求解即可．

解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的对称轴为x＝＝1，

当x＝1时，y＝﹣a﹣2；

y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x2﹣2x）﹣2，即当x＝0或2时，抛物线过定点，即（0，﹣2）、（2，﹣2），

故答案为：①②③；

（2）由抛物线的顶点公式求得：顶点M（1，﹣a﹣2）

当x＝1时，y＝2×1﹣a＝2﹣a，求得：D（1，2﹣a）

当y＝0时，0＝2x﹣a，x＝a，求得：A（a/2，0）

∴DM＝2﹣a﹣（﹣a﹣2）＝4，

S＝S△BMD﹣S△AMD＝MD（OC﹣AC）＝×4×a＝a（a＞0），

（3）①当﹣2≤x≤1时，

C1的y的值都会随x的增大而减小，而C1的对称轴为x＝1，

﹣2≤x≤1在对称轴的左侧，C1开口向上，所以a＞0；

同时C2的开口向下，而又要当﹣2≤x≤1时y的值都会随x的增大而减小，

所以﹣2≤x≤1要在C2的对称轴右侧，

令C2的对称轴为x＝m，则m≤﹣2，

而x＝1和x＝m关于P（t，﹣2）中心对称，所以P到这两条对称轴的距离相等，

所以：1﹣t＝t﹣m，m＝2t﹣1，且：2t﹣1≤﹣2，即：；

②当a＝1时，M（1，﹣3），作PE⊥CM于E，将Rt△PME绕P旋转180°，得到Rt△PQF，

则△MPQ为等腰直角三角形，因为N、Q′是中心对称点，所以四边形MQNQ′为正方形．

第一种情况，当t≤1时，

PE＝PF＝1﹣t，ME＝QF＝1，CE＝2，

∴Q（t+1，﹣t﹣1），

把Q（t+1，﹣t﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2

﹣t﹣1＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣2，

t2+t﹣2＝0，

解得：t1＝1，t2＝﹣2；

第二种情况，当t＞1时，

PE＝PE＝t﹣1，ME＝QF＝1，CE＝2，

∴Q（t﹣1，t﹣3）代入：y＝x2﹣2x﹣2，

t﹣3＝（t﹣1）2﹣2（t﹣1）﹣2，

t2﹣5t+4＝0，

解得：t1＝1 （舍去），t2＝4

综上：t＝﹣2或1或4．