Question

【题目】正方形的边长为3，点，分别在射线，上运动，且．连接，作所在直线于点，连接．

（1）如图1，若点是的中点，与之间的数量关系是______；

（2）如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点，分别在射线，上运动时，连接，过点作直线的垂线，交直线于点，连接，求线段长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）．

【解析】

（1）如图（见解析），连接BE，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据圆周角定理得出，从而可得，然后根据角互余得出，最后根据等腰三角形的定义即可得；

（2）如图（见解析），连接BE，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据圆周角定理得出，从而可得，然后根据角互余得出，最后根据等腰三角形的定义即可得；

（3）先根据角互余得出，再根据四边形的内角和、领补角定义得出，然后根据三角形全等的判定定理与性质得出，又根据三角形全等的判定定理与性质得出，最后根据三角形的三边关系定理即可得．

（1），证明如下：

如图，连接BE

在正方形中，，

∵，

∴，即

在和中，

∴

∴

∵，

∴、两点都在以为直径的圆上

∴

∴

∵，

∴

∴

又

∴；

（2）（1）中的结论仍然成立，证明如下：

如图，连接

在正方形中，，

∵，

∴，即

在和中，

∴

∴

∵，

∴、两点都在以为直径的圆上

∴

∴

∵，

∴

∴

又

∴；

（3）如图，连接

∵，

∴

∵

又

∴

在和中，

∴

∴

在和中，

∴

∴

由（2）知，

∴

∵

∴，

在中，由三角形的三边关系定理得：

∴当、、三点共线时，的长最大，最大值为

即线段长的最大值是．