Question

【题目】阅读下列材料：数学课上，老师出示了这样一个问题：

如图1，在等边中，点、在上，且，直线交于点，交延长线于点，且，探究线段之间的数量关系，并证明．

某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现与存在某种数量关系”；

小强：“通过观察和度量，发现图1中有一条线段与相等”；

小伟：“通过构造三角形，证明三角形全等，进而可以得到线段之间的数量关系”．

……

老师：“保留原题条件，再过点作交于与相交于点（如图2）如果给出的值，那么可以求出的值”．

请回答：

（1）在图1中找出与数量关系，并证明；

（2）在图1中找出与线段相等的线段，并证明；

（3）探究线段之间的数量关系，并证明；

（4）若，求的值（用含的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1），理由见详解；（2），理由见详解；（3），理由见详解；（4）

【解析】

（1）先根据三角形内角和定理得：∠BDF+∠DEG＝120°，由三角形外角的性质得：∠DEG＝60°+∠BCE，代入可得结论；

（2）先判断出△ACD≌△BCE（SAS），得出∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，进而判断出∠ACD＝∠P，得CD＝DP，即可得出结论；

（3）如图2，作辅助线构建三角形全等，证明，得，，设，则，，由勾股定理得：，列方程可得结论；

（4）如图3，作辅助线，设，，，，，证明，由得，，得，由，得，即，计算，证明，可得结论．

解：（1）如图1，∠BCE+∠BDF＝60°，

证明：∵∠DGE＝60°，

∴∠BDF+∠DEG＝180°﹣60°＝120°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∵∠DEG＝∠B+∠BCE，

∴∠BDF+60°+∠BCE＝120°，

∴∠BCE+∠BDF＝60°；

（2）DP＝CE，

证明：如图1，连接CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠B＝60°，AC＝BC，

∵AD＝BE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，

∵∠CAB＝∠P+∠ADP＝∠P+∠BDF＝60°，

由（1）知：∠BDF+∠BCE＝60°，

∴∠P＝∠BCE＝∠ACD，

∴CD＝DP，

∴CE＝DP；

（3）结论：AD2+ADBD+BD2＝CE2，

证明：如图2，在边AC上截取AH＝AD，连接DH，过D作DM⊥AC于M，连接CD，

∴∠CAB＝60°，

∴△ADH是等边三角形，

∴AD＝DH＝AH，∠AHD＝60°，

∴∠DHC＝∠PAD＝120°，

由（2）知CD＝PD，∠P＝∠ACD，

∴△DHC≌△DAP（AAS），

∴CH＝AP，

∵AC＝AB，AH＝AD，

∴AC﹣AH＝AB﹣AD，即CH＝BD，

∴BD＝AP，

Rt△ADM中，∠ADM＝30°，

设，则，，

中，由勾股定理得：，

，

；

（4）如图3，连接CD，过H作HQ∥DF，交CD于Q，则∠QHD＝∠MDG，

设CH＝x，FH＝y，FG＝a，DG＝na，CE＝CD＝ma，

∵DH∥AC，

∴∠DHF＝∠ACB＝60°，

∵∠CGF＝∠DGE＝60°，

∴∠DHF＝∠CGF，

∵∠DFH＝∠CFG，

∴∠MDG＝∠MCH，△CGF∽△DHF，

∵DH∥AC，

∴∠CDH＝∠ACD＝∠GCF＝∠MDG＝∠QHD，

∴QH＝QD，

∵QH∥DF，

，，

，，

，即，

，

，

，即，

，

，

∵∠MCH＝∠MDG，∠CMH＝∠DMG，

∴△CMH∽△DMG，

．