Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'CD'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．

（1）如图1，当a＝60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；

（2）如图2，当矩形A′B′CD′的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；

（3）如图3，当AE＝EF时，连接AC，CF，求证：∠ACF＝90°．

Answer 1

【答案】（1）DD'=3；A'F= 4-；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）由旋转的性质可得CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠DCD'=60°，∠ADC=∠A'D'C=90°，由“HL”可证Rt△CDF≌Rt△CD'F，可得∠DCF=∠D'CF=30°，由锐角三角函数可求DF的长，即可求A'F的长；

（2）由勾股定理可求A'C=5，可得A'D=2，通过证明△ECD∽△A'CB'，可得，可求DE的长，由平行线分线段成比例可得，可求DF的长，即可求EF的长；

（3）如图3，过点F作FG⊥B'C于G，由面积法可证EF=EC=AE，由直角三角形的判定可得∠ACF=90°．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3，AD=BC=4，

∵将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转60°角，

∴CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠DCD'=60°，∠ADC=∠A'D'C=90°，

∴△DCD'是等边三角形，

∴DD'=CD=3，∠CDD'=∠CD'D=60°，

∴∠FDD'=∠FD'D=30°，

如图1，连接CF，

∵CD=CD'，CF=CF，

∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL）

∴∠DCF=∠D'CF=30°

∵tan∠DCF=，

∴DF=3×，

∴D'F=，

∴A'F=A'D'-D'F=4-，

（2）在Rt△A'B'C中，，

∵CD=3，

∴A'D=A'C-CD=2，

∵∠DCE=∠A'CB'，∠CDE=∠B'=90°，

∴△ECD∽△A'CB'，

∴

∴

∴DE=

∵A'D'∥B'C

∴

∴

∴DF=

∴EF=DE+DF=

（3）如图3，过点F作FG⊥B'C于G，

∴FG=CD'=3=CD，

∵S△CEF=×EF×CD=×EC×GF，

∴EF=EC

∵AE=EF，

∴AE=EF=EC，

∴△ACF是直角三角形，

∴∠ACF=90°