【题目】如图,抛物线交轴于两点,与轴交于点,连接.点是第一象限内抛物线上的一个动点,点的横坐标为.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)过点作轴,垂足为点,交于点.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点,使得以为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点作,垂足为点.请用含的代数式表示线段的长,并求出当为何值时有最大值,最大值是多少?
【答案】(1) ;(2) 存在,或;;(3) 当时,的最大值为:.
【解析】
(1)由二次函数交点式表达式,即可求解;
(2)分三种情况,分别求解即可;
(3)由即可求解.
解:(1)由二次函数交点式表达式得:,
即:,解得:,
则抛物线的表达式为;
(2)存在,理由:
点的坐标分别为,
则,
将点的坐标代入一次函数表达式:并解得:…①,
同理可得直线AC的表达式为:,
设直线的中点为,过点与垂直直线的表达式中的值为,
同理可得过点与直线垂直直线的表达式为:…②,
①当时,如图1,
则,
设:,则,
由勾股定理得:,解得:或4(舍去4),
故点;
②当时,如图1,
,则,
则,
故点;
③当时,
联立①②并解得:(舍去);
故点Q的坐标为:或;
(3)设点,则点,
∵,
∴,
,
∵,
∴有最大值,
当时,的最大值为:.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E为边AD上的点,点F在边CD上,且CF=3FD,∠BEF=90°
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若AB=4,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长
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【题目】某仓储中心有一个坡度为i=1:2的斜坡AB,顶部A处的高AC为4米,B、C在同一水平地面上,其横截面如图.
(1)求该斜坡的坡面AB的长度;
(2)现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜,其中长DE=2.5米,高EF=2米,该货柜沿斜坡向下时,点D离BC所在水平面的高度不断变化,求当BF=3.5米时,点D离BC所在水平面的高度DH.
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【题目】近几年购物的支付方式日益增多,某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示,支付方式有:A微信、B支付宝、C现金、D其他,该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计,得到如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次一共调查了多少名购买者?
(2)请补全条形统计图;在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度.
(3)若该超市这一周内有1600名购买者,请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名?
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【题目】如图①,在矩形中,,对角线相交于点,动点由点出发,沿向点运动.设点的运动路程为,的面积为,与的函数关系图象如图②所示,则边的长为( ).
A. 3B. 4C. 5D. 6
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【题目】如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB边上的动点(点D不与点A,点B重合),过点D作ED⊥CD交直线AC于点E,已知∠A=30°,AB=4cm,在点D由点A到点B运动的过程中,设AD=xcm,AE=ycm.
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如表:
小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:(说明:补全表格时相关数值,保留一位小数)
(2)在如图2的平面直角坐标系xOy中,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:当AE=AD时,AD的长度约为 cm.
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【题目】已知P(-5,m)和Q(3,m)是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点.
(1)求b的值;
(2)将二次函数y=2x2+bx+1的图象进行一次平移,使图象经过原点.(写出一种即可)
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【题目】万州三中初中数学组深知人生最具好奇心和幻想力、创造力的时期是中学时代,经研究,为我校每一个初中生推荐一本中学生素质数育必读书《数学的奥秘》,这本书就是专门为好奇的中学生准备的.这本书不但给于我们知识,解答生活中的疑惑,更重要的是培养我们细致观察、认真思考、勤于动手的能力.经过一学期的阅读和学习,为了了解学生阅读效果,我们从初一、初二的学生中随机各选20名,对《数学的奥秘》此书阅读效果做测试(此次测试满分:100分).通过测试,我们收集到20名学生得分的数据如下:
初一 | 96 | 100 | 89 | 95 | 62 | 75 | 93 | 86 | 86 | 93 |
95 | 95 | 88 | 94 | 95 | 68 | 92 | 80 | 78 | 90 | |
初二 | 100 | 98 | 96 | 95 | 94 | 92 | 92 | 92 | 92 | 92 |
86 | 84 | 83 | 82 | 78 | 78 | 74 | 64 | 60 | 92 |
通过整理,两组数据的平均数、中位数、众数和方差如表:
年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
初一 | 87.5 | 91 | m | 96.15 |
初二 | 86.2 | n | 92 | 113.06 |
某同学将初一学生得分按分数段(,,,),绘制成频数分布直方图,初二同学得分绘制成扇形统计图,如图(均不完整),初一学生得分频数分布直方图 初二学生得分扇形统计图(注:x表示学生分数)
请完成下列问题:
(1)初一学生得分的众数________;初二学生得分的中位数________;
(2)补全频数分布直方图;扇形统计图中,所对用的圆心角为________度;
(3)经过分析________学生得分相对稳定(填“初一”或“初二”);
(4)你认为哪个年级阅读效果更好,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,A、B、C三点分别为A(﹣4,0)、B(﹣4,﹣4)、C(0,4),点P在x轴上,点D在直线AB上,若DA=1,CP⊥DP,垂足为P,则点P的坐标为_____.
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