Question

【题目】在平面直角坐标系中xOy，抛物线y＝x2－2(m－1)x＋m2－4m＋3的顶点为C，直线y＝－2x＋3与抛物线相交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴的左侧．

（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）若P为直线OC上一动点，求△APB的面积；

（3）当OA＋OB的值最小时，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）C(m－1，2－2m)；（2）△APB的面积＝×4×＝6；（3）m的值．

【解析】试题分析：（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出点的坐标；
（2）联立直线与抛物线求出交点的坐标，然后求出的长，再根据AB∥OC求出两平行线间的距离，最后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；

分情况进行讨论即可.

试题解析：（1）抛物线的解析式可化为

（2）∵直线OC的解析式为 ∴AB∥OC．

令AB与x轴、y轴分别交于点D、K，则

过点O作于点G，

∵

∴ ∴OG＝．

∴AB与OC之间的距离为．

解得： 或

∴

∴

∴的面积＝×4×＝6．

（3）如答图1，设点A关于的对称点为A′，则

过点A作AE∥y轴，A′E∥x轴，AE与A′E交于点E， 则可证

∴，解得

1）当点A′在第二象限，由于A′、O、B三点在同一条直线上，B不可能在第一或第二象限．

2）当点A′在第二象限时，点B在第四象限时．

分别过点A′、B作x轴的垂线段，垂足分别为M、N，则

∵ 三点在同一条直线上，

∴ ，解得m＝．

3）当点A′在第三象限时，m－＜0，－2m＋＜0，即＜m＜．

此时点B在第四象限，显然不成立．

综上所述，m的值．